Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу поговорить с Вами об удивительном математико-механическом парадоксе, который впервые описал великий Аристотель в традиционно приписываемом ему труде "Механика".
Вот как его можно сформулировать
Колесо изображается в двумерном пространстве в виде двух кругов. Его больший внешний круг расположен по касательной к горизонтальной поверхности (например, дороге, по которой он катится), в то время как меньший внутренний круг имеет тот же центр и жестко прикреплен к большему.
Меньший круг может быть бортом шины, ободом, на котором она установлена, или осью.
Предполагая, что больший круг катится без скольжения в течение одного полного оборота получим, что расстояния, пройденные обоими кругами, равны.
Как так? Посмотрите:
На анимации выше видно, что точки B и C проходят пути, равные длинам соответствующих окружностей. Парадокс заключается в том длины этих окружностей не могут быть равны, ведь их радиусы различны!
Конечно, не колесом едины. Абсолютно идентичную ситуацию можно описать, рассматривая стеклянную бутылку: горлышко - малая окружность, дно - большая.
Кстати, в альтернативной версии парадокса именно меньший круг движется без проскальзываний, а большой повторяет за ним все движения. Пример из жизни - колесо поезда с фланцем:
Прежде чем быть полностью объясненным, парадокс колеса Аристотеля неоднократно использовался в рассуждениях ученых. Например, Галилео Галилей, рассматривая вместо колеса шестиугольник, а затем увеличивая количество сторон, находит еще одно подтверждение атомизма:
Так а что же с разгадкой парадокса? Первое объяснение дал французский астрофизик Жан Жак де Меран аж в 1715 году! Но его объяснение чисто механическое - оказывается, ошибочно было предполагать, что внутреннее колесо так же движется без проскальзываний.
Я же покажу Вам чисто математическую оценку данного парадокса. Посмотрите внимательно на траектории движений двух выбранных точек колёс:
Как многие догадаются, эти траектории (синий и красный) являются циклоидами. Уменьшая радиус внутреннего круга, мы будем всё сильнее "спрямлять" красную кривую.
Так вот, парадокс можно объяснить вольным использованием понятий "путь" и "перемещение". Действительно, наши две точки была "перемещены" на одинаковое расстояние, если, например, взять за точку отсчета начальное положение колеса.
Однако, путь, то есть длина траектории, как раз таки различается и зависит от радиусов окружностей, на которых находятся наши точки. Таким образом, парадокс с точки зрения математики - чисто терминологический. Спасибо за внимание!
- Много интересного - в телеграм "Математика не для всех"
- Взгляд на философию со стороны технаря - телеграм "Философия не для всех"