SABCD — правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 78. Точка М — середина ребра SD. Точка N принадлежит ребру SC и CN:NS = 1:3. Найдите длину отрезка, по которому плоскость, проходящая через точки M и N параллельно ребру SA, пересекает основание ABCD пирамиды. Выберите номер правильного ответа
1) 13√37; 2) 91; 3) 26√10; 4) 20√17; 5) 26√13.
Задача централизованного тестирование 2021 года. Вариант 5. Задача А18.
РЕШЕНИЕ
Проведем прямую MK параллельно AS. Прямые MN и DC лежат в одной плоскости и не параллельны. Их точка пересечения P = MN ꓵ DC. Точки K и P принадлежат плоскости, которая проходит через MN параллельно AS и плоскости основания ABCD. Тогда прямая KP – пересечение этих плоскостей. E = KP ꓵ BC. По условию требуется найти длину отрезка KE.
Проведем MF || CS. Так как M – середина SD, то F – середина CD. MF средняя линия треугольника DSC и MF = 0.5·CS = 0.5·78 = 39.
CN:NS = 1:3, следовательно
В треугольнике MPF: MF = 39, CN = 39/2, MF || CN. Т.е. CN – средняя линия и точка C середина FP. FC = 39, тогда CP = 39, DP = 3·39.
Рассмотрим треугольник KPD: угол D прямой, KD = 39, DP = 3·39. По теореме Пифагора имеем:
К углу KPD применим теорему Фалеса. KD || EC:
Ответ: 3) 26√10.
