Иногда доводится слышать, что классическая физика Ньютона и Галилео получается из релятивистской в пределе бесконечно большой скорости света. Это упрощенная, научно-популярная формулировка.
На самом деле, предел действительно есть, но при малых относительно скорости света скоростях. То есть не c→∞, а v/c→0. Стрелочка означает, в данном случае, что величиной v/c можно пренебречь в сравнении с единицей, то есть 1+v/c можно считать равным 1. Соответственно, квадратами и более высокими степенями можно пренебречь в сравнении с самим v/c.
Формально любая скорость мала в сравнении с бесконечной, так что предел в первом смысле сюда тоже входит. Так что упрощение допустимо. Но не везде.
Преобразования Лоренца, которые есть просто часть группы гиперболических поворотов, содержат параметр с. Физически это скорость света; математически просто параметр. Вот они:
Есть группа преобразований Галилея: t'=t, x'=x-Vt. Формально при c→∞ преобразования Галилея получаются из преобразований Лоренца. Одна группа есть предельный случай другой. Здесь, и только здесь, утверждение о пределе бесконечной скорости света верно. Хотя и в уточненной форме получается все правильно, и при этом более физично. Можно даже оценить ошибку, которую мы делаем, применяя классические преобразования вместо релятивистских.
Обозначим для простоты через γ множитель Лоренца: γ²=1/(1-v²/c²).
Релятивистcкая энергия E=γmc² в пределе c→∞ получается бесконечная, что нелепо. Впрочем, не так уж и нелепо: сейчас поясню. Если же брать предел v/c→0, то получим приближение E≈mc²+mv²/2. Ошибка, то есть разница между левой и правой частями, имеет порядок (v/c)², и ею можно пренебречь, по предположению.
Бесконечный результат выше получается из-за первого слагаемого: энергии покоя. Но ее в классической механике нет, она никак не используется, поэтому ее надо предварительно вычесть и приближать релятивистскую кинетическую энергию E-mc². Она и в пределе c→∞ даст обычную кинетическую энергию.
Энергия покоя вообще в механике не используется: она не преобразуется в механических процессах в другие виды энергии. А в ядерной физике преобразуется и там формула блестяще подтвердилась.
Примерно как гидродинамический предел, когда мы от ансамбля молекул переходим к сплошной среде. Формально в любом объеме бесконечно много частиц, но так как частицы уже не играют роли (только ансамблевые характеристики вроде давления), на это можно не обращать внимания.
Интервал, который можно записывать разными способами, для перехода к пределу лучше записать так: dτ²=dt²-dr²/c². Предел c→∞ покажет отсутствие замедления времени: dτ=dt. Мы помним, что τ - это собственное время. Пространство-время в пределе распадается на независимые пространство и время; как у Галилея.
В общей теории относительности вообще предела c→∞ нет. Ньютоновский предел получается из упрощений, основанных на малости масс и скоростей по сравнению с с. Малость масс выражена в том, что метрические коэффициенты мало отличаются от плоской метрики, то есть разности соответствующих коэффициентов малы по сравнению с самими коэффициентами. Проще говоря, если при dr стоит единица в СТО и 1+q в ОТО, то q должно быть мало по сравнению с 1. Но при этом пренебрегаем мы только квадратами и более высокими степенями q, а сами q оставляем. Это называется приближением первого порядка. И тогда из уравнения ОТО получается уравнение Пуассона, решением которого и является ньютоновский потенциал. Если пренебречь вообще, то получится нулевое приближение: плоское пространство без гравитации. Грубо.
Вектор 4-скорости γ(с, u, v, w)/c в пределе c→∞ дает (1,0,0,0), что малоинтересно. Потому что там стоят скорости относительно с, и конечно в пределе это нули. Надо брать предел v/c→0 и приближение первого порядка. Вектор умножить на с: нам нужны скорости в м/с, а не в долях с, которая может быть и большая. Получится вектор γ(с, u, v, w)→(с, u, v, w). Постоянная (да хоть и бесконечная) первая компонента интереса не представляет, поэтому используют трехмерную скорость (u, v, w). Преобразования Галилея, как мы знаем, никак не "смешивают" первую компоненту, временну̀ю, и три остальных.
Точно так же распадаются на 1+3 и другие 4-векторы: ускорение, сила. В пределе получается трехмерная сущность из классики и малоинтересная временнáя часть.
Второй закон Ньютона просто верен в ОТО: бери три пространственные уравнения, и это классическая формулировка.
Первый верен тоже, если пространство плоское. Если нет, то тоже верен, с заменой "равномерно прямолинейно" на "по геодезической", а геодезические есть самые прямые из возможных, то есть "как можно более прямолинейно и как можно более равномерно из того, что возможно в данном направлении с данной скоростью".
Но если пространство не плоское, то там есть гравитация, и она в ньютоновском пределе совпадает с законом Всемирного тяготения того же Ньютона.
Третий закон Ньютона есть следствие закона сохранения импульса и тоже верен.
Последний вопрос. А как можно переходить к пределу малой скорости, если скорость относительна? Так и переходить: если скорость мала в этой системе отсчета, то приближение может быть оправдано. А если в другой системе скорость уже нельзя считать малой, то и приближение неприменимо. Ну вот, скажем, для истребителя в системе отсчета Земли можно считать релятивистские эффекты малыми, но в системе отсчета Солнца уже, возможно, и нельзя, а с точки зрения космического пирата, летящего пограбить нас, самолет движется с релятивистской скоростью. Ну а в чем проблема? Я могу игнорировать различие бортовых часов и домашних ходиков. А пират явственно видит, что часы на Земле идут медленнее, чем его. Всё в порядке.
Отличные каналы коллег, которые сердечно рекомендую.
А вот подборка только научно-популярных каналов.
Оглавление этой рубрики и Путеводитель по моему каналу
