Представим ситуацию: человек и муравей падают с Останкинской башни. Каким будет исход?
Человек при падении с большой высоты, превышающей его размеры более чем в 300 раз, разобьется, а муравей при падении с той же самой высоты останется целым и невредимым.
На первый взгляд кажется, что это неправильно – раз высота, с которой падает муравей, превышает его размеры в тысячи раз больше, нежели эта высота превышает размеры человека, то и разогнаться муравей успеет сильнее, а там уж, следовательно, и сила удара о землю будет больше. Следуя такой логике, как раз-таки человек не должен разбиваться, а не наоборот. Давайте разберемся, в чем же действительно дело.
Можно рассмотреть данную проблему с точки зрения не кинематики, а динамики твердых тел, ведь если не все так очевидно, как кажется, то нужно искать причину происходящего. Обратимся к законам Ньютона.
По второму закону Ньютона, в инерциальной системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально сумме сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела (1). Как следствие, произведение массы тела и ускорения равно сумме всех сил, действующих на тело (2) – в данном случае, это будут сила тяжести и сила сопротивления среды (или сила вязкого трения о воздух).
Вязкое трение возникает при движении твёрдого тела в жидкости или газе. По мере роста скорости силы вязкого трения сильно увеличиваются, а значит, возвращаясь к случаю с падением тела с большой высоты, при приближении к земле сила вязкого трения будет наибольшей. Это объясняется тем, что при ускорении скорость тела увеличивается (исходя из уравнения скорости (3)).
Особенность сил трения в жидкости или газе – это отсутствие трения покоя. То есть для того, чтобы сдвинуть тело с места, понадобится лишь маленькое усилие. Но в связи с тем, что при увеличении скорости увеличивается и сила сопротивления среды, до скорости больше предельной тело разогнать не удастся.
При падении на тело действует совокупность сил – направленная к земле сила тяжести и противоположно направленная сила сопротивления среды. При некоторой скорости сила вязкого трения становится равной по модулю силе тяжести, и тело начинает падать равномерно, то есть с постоянной скоростью. Эту скорость называют предельной скоростью падения. Значит, спустя некоторое время с начала падения муравей приобретет постоянную скорость, ведь эта величина не может бесконечно расти. Затем уже не будет иметь значения конкретная высота, с которой падало насекомое – будь то несколько километров или 100 метров. Масса муравья гораздо меньше массы человека на несколько порядков (примерно в 12,5 млн раз), поэтому тот факт, что сила сопротивления гораздо быстрее достигнет меньшего значения, чем того, что в 12 миллионов раз больше, кажется очевидным и вполне логичным.
Теперь можно подтвердить теоретическую информацию расчетами. Сначала рассчитаем максимальную скорость, которую разовьет тело падая с высоты 540 м (высота Останкинской телебашни) при идеальных условиях, то есть в безвоздушной среде. Используя формулы (4) и (5), находим время, в течение которого человек/муравей будет падать, и максимальную скорость: эта скорость - 104 м/с. Такая скорость достигается через 10,4 с после начала падения.
Предельная скорость падения человека равна примерно 190-240 км/ч, или 53-66м/с. Это значение варьируется в зависимости от того положения, в котором человек находится во время полета. Если он широко расставил руки и ноги, то площадь, движущаяся против силы сопротивления, будет больше, а значит, скорость человека меньше. Если же прыгать «солдатиком», то есть максимально сократить площадь своего поперечного сечения, скорость составляет около 230-240 м/с. Эта скорость достигается менее, чем за 10,4 секунды полета. Это значит, что даже при падении человека с относительно большой (относительно массы муравья) равноускоренное движение заканчивается, и тело приобретет постоянную скорость. Это происходит примерно через 6 секунд после начала падения, то есть, чуть больше чем на половине его пути. Время также считается по формулам ускорения.
Можно также посчитать предельную скорость падения муравья, для этого воспользуемся формулой (6), при этом приняв коэффициент лобового сопротивления за единицу, так как все конечности насекомого и его замысловатая форма добавляют сопротивления, поэтому оно (относительно сопротивления обтекаемых форм) довольно велико.
Предельная скорость падения муравья – 24,7 м/с. Этой скорости он достигает примерно за 2,5 секунды полета. Значит, все оставшееся время он будет лететь с этой скоростью, и с такой же скоростью муравей приземлится на землю.
Теперь можно сравнить падение человека и падение муравья. Скорость, с которой человек приземляется на землю, составляет целых 4 скорости автомобиля, и это в 10 раз больше, чем скорость муравья при приземлении. Именно поэтому человек в большинстве случаев пострадает гораздо сильнее, чем насекомое. Но, надо сказать, теоретическая информация не совсем полностью подтвердилась – казалось, что человек вообще не успеет приобрести постоянную скорость, хотя на самом деле равноускоренное движение все же сменяется на равномерное. Существуют примеры, когда человек, падая с высоты нескольких километров, получал только лишь пару переломов, а в целом оставался жив и здоров. Такие случаи описаны в статистике службы ACRO, фиксирующей все авиакатастрофы.
На самом деле, значение все же имеет и состав организма. Другими словами, важны некоторые элементы покровов человека и муравья. В состав цитоскелета насекомых входит хитин, который обеспечивает прочность и жесткость оболочки организма. В составе человека же такого вещества нет, он гораздо более уязвим, нежели муравей.
Конечно, шансов остаться целым при падении с Останкинской башни у муравья больше, чем у человека, но при этом шансы выжить и у человека далеко не нулевые, ведь и тот, и другой в конечном итоге падают на землю с постоянной скоростью. Вообще вопрос о взаимодействии сил сопротивления среды и силы тяжести имеет большое, и даже, я бы сказала, основное значение для аэродинамики: проектирование аэропланов, изготовление парашютов и т.д. – все это не может быть качественным и успешным без анализа взаимодействия сил, действующих на эти средства во время полета. Этот анализ применяется в разных сферах жизни – военные операции планируются не без учета аэродинамических свойств техники, медицинские исследования, исследовательские операции тоже иногда включают в себя исследование аэродинамики. Аэродинамика присутствует везде, где есть воздух и свободно падающие тела, но с Останкинской башни падать все-таки не стоит.
Источники:
1. Кафедра физики школы «Летово». Механика: учебное пособие. Г.З. Арабули, Е.М. Стасевич. – Москва, 2018 – 145 с.
2. Курамшин, А.И. Хитин. [Текст] / Элементы – 30.05.2017 – «Картинка дня»
3. Ландсберг, Г.С. Элементарный учебник физики: учебное пособие в 3 т. Т. 1. Механика. Теплота. Молекулярная физика / под ред. Г.С. Ландсберга. – 14-е изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2018. – 612 с.
4. Официальный сайт Останкинской телебашни/ История Останкинской телебашни – https://www.tvtower.ru/
5. Сборник задач по физике: 7-9 классы. / Авт.-сост. Е.Г. Московкина, В.А. Волков. – М.: ВАКО, 2011. – 176 с.
6. Трефил, Дж. 200 законов мироздания: энциклопедия. / Дж. Трефил // Предельная скорость падения. – М.: ГЕЛИОС, 2007. – 528 с.
7. Фоксфорд. Закон силы трения// [Электронный ресурс] — https://externat.foxford.ru/polezno-znat/wiki-fizika-sily-treniya#2
