ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб. На ребре A₁B₁ взята точка M так, что A₁M = 15, MB₁ = 9. На ребре DD₁ взята точка K так, что DK:KD₁=2:1. Через точку M провели прямую λ, которая пересекает прямую, проходящую через точку K и середину ребра AD. Найдите длину отрезка PD, где P – точка пересечения прямой λ и прямой CD.
Задача предлагалась на репетиционном тестировании по математике в 2016-17 гг. на первом этапе под номером В12
Изобразим куб и поставим точки, указанные в условии. M на ребре A₁B₁ так, что A₁M = 15, MB₁ = 9, следовательно ребро куба равно 24. Точка K на ребре DD₁ делит это ребро в отношении 2:1, тогда DK=16, а KD₁=8. Точка E – середина AD, т.е. AE=ED=12.
Проведем следующие построения:
1) находим точку пересечения EK и A₁D₁; эти прямые лежат в одной плоскости и не параллельны, поэтому EKꓵA₁D₁=F;
2) прямая EK пересекает плоскость CDA₁B₁ в точке O;
3) по условию прямая λ проходит через точку M и точку на прямой CD, т.е. она лежит в плоскости CDA₁B₁, а так как λ пересекает и прямую EK, которая имеет единственную точку O с плоскостью CDA₁B₁, то λ = MO;
4) MOꓵCD=P.
Само решение:
1) найдем D₁F
2)
3)
Следовательно, так как линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны
4) тогда, так как
будут равны углы
а треугольники подобны
5) из подобия следует
Ответ: 6.
