Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В прошлой статье (прочитайте) я рассказывал Вам об очень оригинальной математической головоломке, принадлежащей перу еврейского историка Флавия.
Тогда мы ограничились найденным на пальцах решением, а сегодня попробуем найти закономерности в самом простом случае: когда каждый из солдат выбивает своего непосредственного соседа. Итак, поехали!
Для начала придётся поработать ручками, а именно построить несколько диаграмм для небольшого числа солдат:
Что же получается, так сразу и не скажешь. Для этого необходимо свести полученные результаты в таблицу:
Сразу заметим, что, если количество солдат равно степени двойки, то выживший всегда находится на первом месте. Действительно, это легко показать, учитывая, что конфигурации из 16,8,4,2 солдат последовательно переходят друг в друга (см. рисунок выше для перехода 8 ---> 4).
Напрашивается вывод, что выигрышные позиции расположены в зависимости от разницы числа солдат и степеней двойки. Эмпирический результат (впрочем, доказываемый по индукции) выглядит так:
Однако, есть еще более универсальный метод. Для него нужно перевести число солдат, стоящих в кругу, из десятичной системы в двоичную, а потом перенести разряд:
Кстати, для оригинального случая из задачи Флавия, когда солдаты выбывали через одного, математики даже нашли константу, равную примерно 0,8, которая участвует в причудливой формуле, позволяющей и здесь вычислить теплое местечко. Спасибо за внимание!
