Задание 19. Сумма цифр трёхзначного натурального числа А делится на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также делится на 12. Найдите наименьшее возможное число А.
Решение:
Рассмотрим наше число в виде: A = [a][b][c]. На первый взгляд задача кажется простой, но здесь можно забыть учесть переполнение. Методом подбора задача будет решаться слишком долго, поэтому нужно выявить алгоритмические зависимости.
Сначала возьмем такой вариант, когда при прибавлении 6 к числу А не возникает переполнение. Чтобы это было возможным, нужно наложить условие на самый младший разряд числа: c ⩽ 3. Сумма цифр A + 6 больше суммы цифр А на 6.
Тогда попробуем разделить сумму нового числа на 12:
Здесь A/12 является целым числом по условию, Но A/12 + 1/2 никогда не будет делиться на 12 из-за наличия 1/2. Поэтому нам не подходит вариант c ⩽ 3.
Рассмотрим вариант c ⩾ 4. Здесь рассмотрим 3 случая.
1. Возникает переполнение на младшем 1-м разряде, но на втором разряде не возникает переполнение.
Это накладывает условие b < 9 и c ⩾ 4. Для начала исследуем как происходит процесс переполнения разряда. Допустим, младший разряд был [c]. К нему прибавили 6, получили некоторый разряд [x]. Найдем для него выражение. Для текущих условий младший разряд лежит в диапазоне: 4 ⩽ c ⩽ 9. Отсюда следует, что 4 + 6 ⩽ c + 6 ⩽ 9 + 6 или 10 ⩽ c + 6 ⩽ 15. Если превышено основание нашей системы счисления, то в итоге остается (10 mod 10) ⩽ ((c + 6) mod 10) ⩽ (15 mod 10) или 0 ⩽ [x] ⩽ 5. Отсюда получаем:
Или более упрощенно можно заменить
Исходное число: A = [a][b][c] Сумма цифр = a + b + c
Преобразованное число: A + 6 = [a][b+1][c-4] Сумма цифр = a + b + 1 + c - 4 = a + b + c - 3. Смещение между суммами равно -3, а должно быть кратно 12. Поэтому этот случай нам не подходит.
2. Возникает переполнение на младшем разряде и на втором разряде, но не возникает на самом старшем разряде. Это накладывает условия: b = 9, a < 9 и c ⩾ 4.
Исходное число: A = [a][9][c] Сумма цифр = a + 9 + c = a + c + 9
Преобразованное число: A + 6 = [a + 1][0][c - 4] Сумма цифр = a + 1 + 0 + c - 4 = a + c - 3 = a + c + 9 - 12. Видно, что смещение между суммами получилось равным -12. Это нам подходит, так как если исходное A делится нацело на 12, то и A + 6 будет делиться на 12.
3. Возникает переполнение в первом, втором, третьем разрядах. Это накладывает условия: b = 9, a = 9 и c ⩾ 4.
Исходное число: A = [9][9][c] Сумма цифр = 9 + 9 + c = c + 18.
Преобразованное число: [1][0][0][c-4] Сумма цифр = 1 + 0 + 0 + c - 4 = c - 3 = c + 18 - 21. Смещение получается равным -21. Но это не кратно 12, поэтому нам это не подходит.
Получаем единственный второй подходящий случай. Выпишем все условия для него:
Допустим у нас сумма цифр должна быть 12. Но тогда, если мы возьмем минимальное значение с = 4, то уже вместе с b = 9 мы получим сумму цифр от 13, без учета а. Это нам не подходит. Тогда сумма цифр должна быть равна 24. Причем мы должны минимизировать число [a][9][c]. Получается, что, если a + 9 + c = 24, то a + c = 24 – 9 = 15. 15 можно получить несколькими способами: 15 = 6 + 9 = 7 + 8 (когда каждое из слагаемых не превышает 9). Поэтому для минимально числа нам подходит: A = [6][9][9].
Ответ: 699
Разбор с подробным решением в pdf-файле
Понравился разбор задачи? Проявите активность: лайк, репост, комментарий.
Если Вам нужен репетитор по физике, математике или информатике/программированию, Вы можете написать мне или в мою группу Репетитор IT mentor в VK
Библиотека с книгами для физиков, математиков и программистов
Репетитор IT mentor в VK
Репетитор IT mentor в Instagram
Репетитор IT mentor в telegram
