Число Пи трансцендентное и иррациональное. Трансцендентность любого числа означает, что его нельзя вычислить, решая какое-нибудь уравнение с целочисленными коэффициентами. Например, представленное ниже уравнение демонстрирует, что иррациональное число корень из двух не является трансцендентным.
Так как решением представленного уравнения является корень квадратный из двух. При этом, что интересно, два в степени корень из двух уже трансцендентное число и соответственно оно не может быть корнем какого-либо уравнения с целыми коэффициентами.
Особо следует подчеркнуть, что иррациональность это обязательное свойство любого трансцендентного числа. Не бывает рациональных трансцендентных чисел. Все трансцендентные числа обязательно иррациональны. Иррациональность свидетельствует о теоретической бесконечности числа. Т.е. такое число нельзя записать в виде конечной десятичной дроби. Оба этих свойства числа Пи надёжно доказаны математиками и не вызывают никаких сомнений у профессионалов. Считается, что трансцендентность однозначно обосновывает невозможность точного геометрического построения с помощью циркуля и линейки без делений отрезка с трансцендентной длиной. Причина этого очевидна – невозможно циркулем отложить абсолютно точно отрезок, имеющий иррациональную, т.е. бесконечно дробную, длину. При этом у трансцендентных чисел есть одно замечательное свойство, будучи умноженными на любое другое число они неизменно дают трансцендентный результат. Следовательно, длина любой окружности всегда трансцендентная величина, так как она равна произведению трансцендентного Пи на произвольный диаметр. Но постойте, ведь мы легко строим окружность любого диаметра с помощью циркуля, при этом трансцендентность её длины никак не мешает нам. Выбирая произвольный радиус, мы гарантированно построим окружность с заведомо трансцендентной длиной. Что недопустимо с точки зрения формальных математических выкладок. Выходит, распространение математической трансцендентности на геометрические построения не совсем корректно. Да это так, уважаемые читатели. Более того, геометрия так же легко расправляется с иррациональными длинами, как и с трансцендентными. Что бы убедится в этом достаточно вспомнить, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника с единичными катетами равна корню из двух (самому известному иррациональному числу).
Ну что ж, в таком случае теоретически ничто не мешает нам построить с помощью циркуля и линейки отрезок точно равный трансцендентному Пи. Для этого нам потребуются: развёртка любой окружности, диаметр этой окружности и алгоритм деления произвольных отрезков с помощью циркуля и линейки. Построению развёртки произвольной окружности у меня на канале дзен посвящена отдельная статья . Поэтому сейчас я приведу лишь краткое описание этого построения.
Строим окружность произвольного диаметра D . Строим хорду в любой четверти окружности. Делим хорду пополам. Проводим через середину хорды радиус. Отрезок d , отсечённый на радиусе, откладываем на хорде симметрично относительно радиуса. Из любого конца отрезка d на хорде поднимаем перпендикуляр до пересечения с окружностью. Получаем отрезок d ’ . Строим развёртку окружности с длиной:
В нашем случае для нахождения отрезка с длиной равной Пи требуется длину окружности L разделить на её диаметр D . Мы воспользуемся алгоритмом , разработанным Скворцовым Александром Петровичем, замечательным педагогом - учителем математики и геометрии.
Откладываем по оси Y отрезок | OB | длиной L (длина окружности). Строим прямую | BB 1 | параллельную оси Х. Откладываем по оси Х отрезок | OA | длиной d (диаметр окружности). Отмечаем на оси Х точку М на расстоянии d +1 от начала координат. Строим из точки М перпендикуляр к оси Х длиной d (| MM 1 | = d ). Проводим через точки А и М1 отрезок до пересечения с прямой ВВ1 . Опускаем из точки пересечения С перпендикуляр к оси Х в точку D . Отрезок | AD | равен частному от деления L на d . Т.е. отрезок | AD | это искомое число Пи .
Наверняка внимательные читатели заметили, что в предложенном построении используется единичный отрезок ( d +1 ), который невозможно отложить без линейки с делениями. Да, действительно, это ограничение существовало до тех пор, пока мы с вами не познакомились с универсальным единичным отрезком. Напомню, что смысл универсального единичного отрезка заключается в выборе половины любого произвольного отрезка в качестве единичного отрезка. Такой подход позволяет находить единичные отрезки для любых абстрактных геометрических построений, использующих единичные отрезки без их привязки к конкретным единицам измерения. Так например, на приведённом выше построении в качестве единичного отрезка был выбран отрезок равный четверти длины диаметра окружности, что соответствует 10 миллиметрам на чертеже. Соответственно длина отрезка Пи в этом случае равна 31,415925 мм. После деления длины этого отрезка на масштаб измерительной линейки (10 мм) мы получаем нужное нам значение Пи 3,1415925. Если бы мы с вами взяли в качестве единичного отрезка половину длины диаметра окружности, т.е. 20 мм, то получили бы при построении Пи отрезок длиной 62,83185 мм. Деление данного числа на масштабирующий коэффициент 20 мм, вернул бы нам всё тоже значение Пи равное 3,1415925.
PS Как вы считаете, уважаемые читатели, действительно поиск решения задачи «квадратура круга» безнадёжное и тщетное занятие?
