Радиус окружности описанной около четырёхугольника / Геометрия №25

Разберем ещё одну очень сложную задачу из открытого банка заданий ФИПИ. Чем она «очень сложная»? Наверное, тем, что в ней для быстрого решения необходимо выполнить дополнительное построение. А это всегда не просто - вариантов всегда очень много, а найти нужно «единственный рабочий».

Задание №25, геометрия, снова окружность. Поехали?

Задача

Рис. 1

Рассуждение

• Четырёхугольник вписан. А любой можно вписать?
• Угол между диагоналями известен, возможно площадь через диагонали и угол между ними.
• Может свойство пересекающихся хорд окружности (диагонали).
• Радиус описанной окружности, возможно через теорему синусов.

Решение

Построим вписанный в окружность четырёхугольник, с пересекающимися в точке K диагоналями.

Рис. 2. ABCD - вписанный четырёхугольник; AC и BD - диагонали

Достроим хорду параллельную любой из диагоналей четырёхугольника.

Рис. 3. AE||BD; ∠BKA = ∠KAE - накрестлежащие при секущей AK

Четырёхугольник ABDE - трапеция или прямоугольник (квадрат отнесём к прямоугольникам) т.к. противолежащие стороны AE и BD параллельны, а накрестлежащие углы при секущей AD равны, то и дуги (и хорды) равны. Получается, в любом случае AB = DE.

Рис. 4. AB = DE - как хорды отсекающие равные дуги

Теперь рассмотрим четырёхугольник ACDE.

Рис. 5. Четырёхугольник ACDE - вписан в окружность

Это вписанный в окружность четырёхугольник (все вершины принадлежат окружности).

Рис. 6. Противолежащие углы в сумме 180°

В отличии от треугольников (можно вписать всегда), четырёхугольник получится вписать в окружность только если выполнено условие: сумма противолежащих углов в сумме равна 180°.

Рис. 7

Можно найти угол ∠CDE = 120°.

Рассмотрим ∆CDE.

Рис. 8

В этом треугольнике нам известно две стороны (CD и DE) и угол между ними (∠CDE) - теорема косинусов.

Рис. 9. Теорема косинусов для ∆CDE

По теореме косинусов находим сторону CE (CD = 10; DE = 40; cos∠CDE = -0,5):

CE = 10√21.

И уже по теореме синусов найдём радиус описанной окружности для ∆CDE.

Рис. 10. Теорема синусов для ∆CDE

Не забываем, что sin120° = sin60° (формулы приведения).

Ответ: 10√7

Заключение

Что пригодилось:

• Интуиция для удачного построения;
• Свойство углов четырёхугольника вписанного в окружность;
• Теорема косинусов;
• Теорема синусов.

Применение

Подобные задания можно найти на сайте ФИПИ или перейти по этой ссылке. Пробуйте, решайте, рассказывайте о своих способах решения. Удачи!