Доказательство теоремы косинусов - не самое простое ( у теоремы синусов сильно проще), но смотря о каком доказательстве речь.
Чаще всего теорема доказывается через систему координат (у Л.С. Атанасян) или через связку теорема Пифагора + соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника. В обоих случаях - не самые короткие доказательства (особенно последнее, там вообще три типа треугольников рассматривается).
Рассмотрим другой способ, короткий и понятный. Через окружность.
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов других двух сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник, одна из вершин при большей стороне которого - центр окружности с радиусом равным этой большей стороне. И обозначим стороны этого треугольника, как показано на рисунке:
Через сторону c проведём еще один диаметр, а через сторону b достроим прямоугольный треугольник (в котором и найдём катет прилежащий к углу α), так что получившийся диаметр и катет треугольника будут пересекаться в некоторой точке. А значит, по свойству пересекающихся хорд:
Теорема доказана.
Применение
Применять теорему косинусов придётся в первой части ОГЭ, вот ссылка на несколько заданий из открытого банка ФИПИ.