Речь пойдет об энергии и импульсе материальной точки. Вот задача: есть система материальных точек, они взаимодействуют. Как определить их импульсы? Определить, в смысле, дать определение, а не вычислить. Надо, чтобы в нерелятивистском пределе получались обычные импульсы классической механики и чтобы закон сохранения импульса был верен во всех инерциальных системах отсчета, в соответствии с принципом относительности.
Я не буду вдаваться в вычисления, потому что они довольно громоздкие и есть в любом учебнике, например в книге П.Г. Бергмана. Но постараюсь показать логику рассуждений.
Рассмотрим сначала два шарика, катящихся косо навстречу друг другу (так, что есть скорости вдоль обеих осей), сталкивающихся и разлетающихся так, что скорость вдоль оси х остается то же, а вдоль оси у меняет знак. Довольно частная задача.
Записываем импульсы в общем виде m(v)v, где m(v) — пока неизвестная функция скорости v. Мы рассуждаем так: обычный импульс есть mv, так что пусть и релятивистский, если он есть, будет mv, а функция m(v) в пределе v→0 равна массе m. Ну, и импульс должен зависеть только от характеристик данной материальной точки, а у нее всего и есть что масса и скорость.
Теперь перейдем в систему с теми же осями, но подвижную. Перепишем импульсы в ней по формулам Лоренца. Это довольно громоздко, но делается. Чтобы выполнялся закон сохранения, импульс материальной точки должен иметь вид
Раньше выделяли функцию m(v) и называли релятивистской массой (тогда импульс имел привычный вид m(v)v). Сейчас это не принято. Полагаю, потому, что эта масса не создает искривления пространства-времени, то есть не гравитирует. Про это я уже рассказывал. Про массу в другой раз поговорим ещё.
Важно, что мы пока ничего не доказали, а только исключили все варианты, кроме одного. Далее можно показать, что этот импульс и вправду инвариантен, то есть является тензором ранга 1 (вектором). И в пределе дает обычный импульс. И сохраняется. Вот теперь он достоин быть названным релятивистским импульсом!
Импульс p связан с энергией E соотношением dE=vdp. Интегрируя наш импульс, приходим к выражению для энергии:
Константу интегрирования Ê можно выбрать любой... но есть одно физическое соображение, которое ограничивает выбор этой константы.
Рассмотрим девушку в платье. Девушка — это тело, обладающее массой и энергией. Платье — тоже. В какой момент девушка в платье становится единым телом?
Нам нужна аддитивность: чтобы масса и энергия объединения тел была равна сумме масс/энергий. А для этого константа должна быть пропорциональна массе тела m, или, если угодно энергии покоя mc². По сути, Ê либо нуль, либо -mc² (и тогда мы принимаем энергию покоя за нуль: такую энергию иногда называют релятивистской кинетической).
Константа эта является константой только относительно скорости. От массы зависеть можно.
В итоге мы получаем формулу E=mc² как универсальный закон природы! Не в частном случае, не как какое-то свойство электрона, испускающего квант света... а абсолютную кинематическую формулу. Вот в чем ее пафос, на самом деле.
Давайте разложим выражение для энергии по степеням v². Нулевой член (при v=0) дает энергию покоя, ясно. Здесь под v понимается величина вектора скорости v.
Если вы знакомы с формулой Тейлора, примените ее, считая за переменную v²/c². Если не знакомы, вычтите энергию покоя (получится выражение, равное нулю при v=0) и поделите его на v². После некоторой возни, призванной избавиться от неопределенности 0/0, и подстановки v=0, мы придем к коэффициенту при v² в нашем разложении.
Так вот, это слагаемое есть половина массы, а всё первое приближение в предположении, что скорость мала в сравнении со скоростью света, есть кинетическая энергия:
Что характерно, кинетическая энергия от скорости света не зависит, поэтому малость v по сравнению с c на нее как бы и не действует (хотя эта энергия мала в сравнении с энергией покоя). А вот последующие члены разложения уже содержат v/c в высоких степенях и потому роли в классической механике не играют.
При релятивистских скоростях же раскладывать по степеням смысла вообще нет: надо работать непосредственно с релятивистской энергией, а кинетической там и нет даже как понятия.
Отметим, что энергия (и импульс тоже) стремятся к бесконечности при v→c. Поэтому никакая черная дыра не разгонит ничего до скорости света, даже если она и так уже почти достигнута. Она (черная дыра) будет закачивать энергию, но огромные вложения энергии конвертируются в крайне небольшой прирост скорости.
Поэтому и используют ускорители на встречных пучках. Но это, пожалуй, тема для отдельной заметки.
И ещё. Производная импульса по времени, по закону Ньютона, есть сила. Можно ли это провернуть в релятивистском случае? Можно. Но сила точно заслуживает отдельной беседы!
Энергия и импульс комфортно объединяются в четырехмерный вектор энергии-импульса, с которым в теории относительности обычно и имеют дело. В системе отсчета самого тела его первой компонентой будет энергия покоя, а остальные нули; а остальное получается автоматически из формул Лоренца и принципа общей ковариантности, изящно и красиво! Об этом я тоже, пожалуй, расскажу в другой раз.
До встречи!
Путеводитель по каналу и по рубрике "Гравитация, Вселенная и всё остальное"
