Куда деваются корни квадратного уравнения, когда оно не имеет действительных решений и откуда берутся комплексные корни? Как выглядят квадратные уравнения "на самом деле"? Сегодня мы увидим скрытый от вещественного мира облик привычных со школы квадратных уравнений.
В одной из прошлых заметок мы рассматривали структуру решений уравнения ax² + bx + c = 0.
Два корня расположены симметрично относительно точки –b/(2a) и отстоят от неё на расстоянии √D/(2a), где D = b² – 4ac, это дискриминант уравнения. Геометрический смысл точки симметрии –b/(2a) состоит в том, что это точка пересечения оси симметрии параболы, заданной уравнением y = ax² + bx + c и осью Ox. В свою очередь, дискриминант отражает положение минимума этой параболы по оси Oy, таким образом, что если он оказывается отрицательным, то минимум параболы оказывается по одну строну от оси Ox с ветвями параболы и она не пересекает оси абсцисс. Вещественных корней у квадратного уравнения в таком случае, нет.
Но мы же с вами грамотные маткружковцы, и знаем про существование комплексных корней квадратного уравнения, и даже знаем, как правильно ставить ударение в слове "комплéксный". А как и откуда эти комплексные корни появляются по мере исчезновении вещественных? Где они располагаются и какой имеют геометрический смысл, применительно к параболе y = ax² + bx + c?
Для того, чтобы порассуждать об этом, надо выйти за пределы вещественной числовой оси и увидеть уравнение ax² + bx + c = 0 таким, каким оно предстаёт в своём мире: в чудесном поле комплексных чисел, в которых любые алгебраические уравнения имеют решения.
Подставим в уравнение вместо переменной x комплексное число в форме u + iv:
Теперь раскроем все скобки и приведём подобные слагаемые относительно i, не забывая, что i² = –1:
Равенство будет верным, если одновременно и вещественная и мнимая части левой половины равенства обратятся в 0. Таким образом, мы свели одно уравнение в комплексных числах к системе вещественных уравнений на u и v:
Второе уравнение при этом распадается на два: либо v = 0 либо 2au + b = 0.
Можно изобразить геометрические места точек, удовлетворяющих всем трём уравнениям в плоскости (u, v) и увидеть, что происходит с корнями. Первое уравнение описывает гиперболы с асимптотами, пересекающимися в точке (–b/2a, 0) и симметрично расходящимися под наклоном ±1. Ветви гиперболы могут проходить двумя разными способами, в зависимости от знака дискриминанта, либо пересекая ось абсцисс, либо нет. А второе и третье уравнения — это прямые линии, горизонтальная и вертикальная, соответственно.
При положительном дискриминанте гиперболы пересекают вещественную ось, и точки пересечения соответствуют двум вещественным числам. Симметрия гипербол в точности согласуется с симметрией параболы, о которой мы говорили в самом начале.
Когда дискриминант отрицателен, ветви гиперболы проходят выше и ниже вещественной оси и пересекают вертикальную линию 2au + b = 0 в двух точках. Это и есть два комплексных корня с вещественной частью равной –b/2a, и мнимой частью, отличающейся от нуля на величину ±√–D/(2a).
Нулевому дискриминанту соответствует вырожденная гипербола, совпадающая с асимптотами. Корень при этом кратный, и равен –b/2a.
Но откуда же взялись гиперболы? Квадратное уравнение — это же про параболы?
Истинное лицо квадратного уравнения
На самом деле, вещественная часть уравнения y = ax² + bx + c в комплексных числах описывает гиперболический параболоид. Вот как он выглядит:
Эта поверхность замечательна во многих отношениях. Её можно построить с помощью движения прямой или параболы, либо представить, как поверхность, порождённую многообразием парабол, проходящих через одну точку, которая называется седловой, или многообразием гипербол, лежащих в параллельных плоскостях. Наконец, именно такую форму имеют картофельные чипсы известной марки.
Прекрасный рассказ об этом можно найти здесь:
Линии пересечения параболоида с плоскостью (u, v) это и есть знакомые нам гиперболы — горизонтальные сечения гиперболического параболоида.
Теперь на корни квадратного уравнения мы можем взглянуть, увидев их во всей полноте. Плоскости v = const и 2au + b = const, пересекая параболический гиперболоид в вертикально, образуют две параболы, касающиеся друг друга в седловой точке и расположенные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Эти две параболы представляют собой многообразия всех корней квадратного уравнения.
Положение седловой точки гиперболического параболоида au² – av² + bu + c = z это знакомое нам число –D/4a. Посмотрите, что происходит с поверхностью, при изменении знака дискриминанта. Если мы станем изменять коэффициенты квадратного уравнения, то параболоид станет перемещаться в пространстве (u, v, Re(ax² + bx + c)), пересечение многообразий корней уравнения с плоскостью (u, v) рождает пару чисел, либо вещественных, либо комплексных
Теперь мы с уверенностью можем сказать, что видим, куда деваются вещественные корни уравнения и откуда берутся комплексные!
* * *
Очертания гиперболического параболоида можно разглядеть и в сетке, образованной линиями равных решений в пространстве коэффициентов квадратных уравнений, которую мы построили в предыдущей статье по этой теме:
И это, конечно же, не случайно. По теореме Виета, имея пару чисел (x₁, x₂), мы можем построить квадратное уравнение, имеющее эти корни:
(x – x₁)(x – x₂) = x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = x² + bx + c.
Что позволяет найти отображение из пространства решений в пространство коэффициентов: (–x₁ – x₂, x₁x₂) ⟶ (b, c). Назовём это перобразование именем Виета.
Где же здесь прячется параболоид? Уравнение гиперболического параболоида имеет два канонических вида:
z = x² – y² = (x + y)(x – y) = x'y',
которые переходят друг в друга при линейном преобразовании координат (x + y, x – y) ⟶ (x', y'). Это преобразование поворачивает и двое уменьшает все фигуры, не меняя их формы.
Отсюда следует, что в сердце преобразования между вещественными корнями уравнения и коэффициентами тоже лежит гиперболический параболоид. Вот как выглядит это преобразование геометрически:
Здесь чёрная линия соответствует кратным корням, а на параболоид проецируется решётка целочисленный корней. Вертикальная ось на этом графике соответствует свободному коэффициенту с в уравнении. Коэффициент при линейном члене b, это сумма корней, так что плоскость (b, c) представляет собой вертикальную плоскость, параллельную линии кратных корней. Проекцию параболоида на эту плоскость мы и видим, как преобразование Виета.
Параболоид в преобразовании Виета и параболоид, образуемый вещественной частью квадратного уравнения в комплексных числах, это разные фигуры, не связанные друг с другом. Но квадратные уравнения настолько пронизаны параболами, что не удивительно встретить параболоиды в разных частях их теории.
Можно бы завершить рассказ сакраментальной фразой: "Теперь мы знаем о квадратных уравнениях всё". Но, конечно же, главное, это разобраться а зачем нам вообще знать что-то про квадратные уравнения?
────────────────────────
Хотите, чтобы в вашей ленте Дзена было больше интересных и глубоких материалов? Подскажите алгоритму Дзена, что там нравятся публикации, подобные этой, подпишитесь, поставьте лайк или прокомментируйте.
Давайте формировать информационную среду вместе!