В восьмом классе мы встречаемся с квадратными уравнениями, выводим или заучиваем формулу для их решения, запоминаем страшное слово "дискримитант", в общем, становимся суровыми математиками! Либо окончательно понимаем, что "математика не моё" и наивно называем себя "гуманитариями".
Положа руку на сердце, признаю, что умение решать квадратные уравнения пригодится не всем нам во взрослой жизни. Чаще всего, мы оставляем это знание на полке со школьными тетрадками и учебниками.
Но вот какое важное универсальное знание даёт знакомство с ними: уравнение может не иметь решений, либо одно из решений может не иметь смысла, как, например, отрицательное время в какой-нибудь физической задаче.
Это важный жизненный опыт, который помогает осознавать и познавать границы возможного, применимого, разрешимого.
Квадратные уравнения могут научить ещё кое-чему, а именно, видеть алгебру, отыскивать геометрический смысл алгебраических результатов.
Давайте вспомним, как выглядит общий вид решения квадратного уравнения:
Что означает эта формула? Что два решения расположены по разные стороны некоторого числа A и отстоят от него на расстоянии B. Какой же смысл у этих чисел?
Мы знаем, что график квадратного уравнения — это парабола. Кривая, которая имеет осевую симметрию относительно своего минимума. Эта симметрия присутствует и в решении. Число A — это положение оси симметрии, то есть, минимума, а B — половина ширины отрезка, который парабола отсекает на оси. Если отсекает, конечно.
Давайте подставим в уравнение положение минимума:
Смотрите-ка, в числителе сам собой образовался дискриминант! Теперь нам легко понять его смысл — вертикальное положение минимума параболы.
Пусть, для определённости, коэффициент a будет положительным, а значит, ветви параболы будут идти наверх. Если дискриминант D отрицателен, то парабола расположена над осью x и не пересекает её. В этом случае решений не будет. Если дискриминант положителен, минимум находится под осью x и парабола неизбежно пересечёт эту ось в двух точках.
Наконец, давайте посмотрим, как в само квадратное уравнение входят числа A и B, из которых состоят его решения. Это легко увидеть с помощью теоремы Виета:
На такой разбор может не хватить времени на школьном уроке, но он полезен для того, чтобы уравнения и их решения стали несколько более говорящими.
Продолжение темы: