Задачки в учебниках придумывают люди. И они хотят, чтобы задачи в них не просто решались, а ещё и красиво решались. Чтобы чудесным образом извлекались квадратные корни, чтобы дроби сокращались как надо.
Предположим, вам для проведения экзамена нужно сочинить десятка три задачек на решение квадратных уравнений. Вы выписываете наугад тридцать уравнений с целыми коэффициентами. Какую долю из них составят те что, не имеют вещественных решений? А сколько из них будут иметь целочисленные корни?
Понятно, что во всех этих вопросах речь идет об ожидаемых величинах и долях.
Доля нерешаемых уравнений
Мы знаем, что квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 решается, если его дискриминант b² − 4ac оказывается неотрицательным. А какая доля пространства троек (a, b, c) будет удовлетворять этому условию?
На этот вопрос проще ответить не в целых числах, а в действительных, сформулировав вопрос геометрически: какой фигурой в пространстве (a, b, c) ограничивается объём нерешаемых уравнений?
Мы знаем уравнение границы этой фигуры: b² − 4ac = 0. Давайте преобразуем координаты так, чтобы стало очевидным, с чем мы имеем дело. Для этого сделаем преобразование координат:
a → (x − y)/2, c → (x + y)/2
и получим:
b² − 4(x − y)(x + y)/4 = b² − x² + y² = 0, или b² + y² = x².
Мы видим уравнение окружностей в координатах (b, y) с радиусами x. Значит, все нерешаемые уравнения попадают внутрь некоторого кругового конуса. Обратное преобразование к координатам (a, b, c) превратит этот круговой конус в эллиптический и повернёт его, как показано на рисунке:
Нам повезло! Конус, даже эллиптический, на всех масштабах выглядит одинаково, а это значит, что можно вычислить долю его объёма в объёме всего пространства параметров. Не буду здесь вдаваться в подробности расчёта, приведу конечный результат: доля нерешаемых уравнений составляет √2π/12 ≈ 37%.
Получается, что если наугад выбрать три числа и составить с их помощью квадратное уравнение, то вероятность того, что оно будет иметь вещественные решения составит чуть менее двух третей. Конечно, эта вероятность будет зависеть от конкретного способа выбора коэффициентов, но в случае их равномерного распределения результат можно ожидать таким.
Конечно, если стоит задача составить список заведомо решаемых уравнений, то наугад их сочинять не придётся. Достаточно сгенерировать нужное количество пар решений (x₁, x₂) и с помощью теоремы Виета сформировать соответствующие им уравнения:
(x − x₁) (x − x₂) = x² − (x₁ + x₂) x + x₁x₂
Целочисленные решения
И теперь можно перейти ко второму вопросу: как выглядит в пространстве целочисленных коэффициентов квадратных уравнений подмножество "хороших" уравнений? Хорошими будем считать квадратные уравнения с целочисленными коэффициентами, у которых и дискриминант является полным квадратом, и дроби сокращаются так, что решения тоже получаются целочисленными.
Для наглядности, эту задачу будем решать для приведённых квадратных уравнений, то есть, таких, у которых a = 1.
В поиске ответа нам опять поможет теорема Виета. Она определяет преобразование координат, отображающее пространство решений в пространство коэффициентов:
−x₁ − x₂ → b, x₁ x₂ → c.
Все пары целочисленных решений образуют равномерную решётку в пространстве всех действительных решений.
На этой решётке выделяется линия x₁ = x₂, которая соответствует нулевому дискриминанту и кратным корням. Эта линия является осью симметрии всего пространства решений. Действительно, одному уравнению соответствует две пары решений (x₁, x₂) и (x₂, x₁), которые расположены симметрично относительно линии кратных корней. Так что достаточно рассмотреть как отображается в пространство коэффициентов только подпространство уникальных решений, например, нижняя полуплоскость.
Горизонтальные и вертикальные прямые линии, соответствующие уравнениям x₁ = const и x₂ = const (красные и синие линии на диаграммах) преобразование Виета снова превращает в прямые:
Какая красивая картинка! Линия кратных решений окаймляет "мёртвую область", в которой оказываются коэффициенты уравнений, не имеющих вещественных решений. К ней по касательной подходят линии, вдоль которых располагаются пары решений с одинаковым первым или одинаковым вторым элементом.
Линии, касательные параболе образуют прямолинейную, но непрямоугольную сетку. У неё есть интересное свойство: расстояния между всеми точками пересечений любой отдельно взятой касательной со всеми другими всегда одинаково. Нам оно потребуется, но мы позволим себе принять это эмпирическое наблюдение за факт без доказательства.
В отличие от доли нерешаемых уравнений, доля тех, что имеют целочисленные решения, будет сильно зависеть от диапазона, в котором выбираются коэффициенты. По мере его увеличения, число вариантов будет расти квадратично, как площадь в пространстве коэффициентов. В то же время, коэффициенты, дающие целочисленные решения будут располагаться на касательных к линии кратных корней, и их число будет расти линейно с увеличением диапазона, из-за того, что на касательных они располагаются на равном удалении друг от друга. Так что можно ожидать, что доля целочисленных решений будет падать пропорционально 1/N, если |b| < N и |c|< N.
Это значит, что уравнения с небольшими по модулю целыми коэффициентами с большей вероятностью будут иметь целочисленные корни, чем уравнения с большими коэффициентами.
И последнее замечание. В плоскости (b, c) область нерешаемых уравнений ограничена параболой, тогда как в пространстве (a, b, c) эта область представляет собой конус. В этом нет противоречия, плоскость (b, c) сечёт конус параллельно образующей конуса, а такое коническое сечение являетсря параболой.
Продолжение темы: