Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Не столь известная, как Последняя теорема Ферма (которая веками ставила в тупик математиков), теорема Ферма о сумме двух квадратов - еще одна теорема французского математика о представлении простых чисел в виде суммы двух квадратов
В иностранной литературе это утверждение часто называют рождественской теоремой Ферма, так как она стала известна из письма Пьера Ферма, посланного 25 декабря 1640 года.
Ферма утверждал (как обычно без доказательства), что все нечетные простые числа p вида 4n + 1 могут быть выражены как:
Казалось бы, удивительно простое утверждение, однако первое его доказательство было дано только через 100 лет Леонардом Эйлером, поэтому в отечественной математике принято обозначение теорема Ферма Эйлера.
Существуют доказательства теоремы с помощью метода бесконечного спуска, квадратичных вычетов, гауссовых целых чисел и т.д. Здесь я покажу Вам не совсем строгое, но наглядное доказательство, для которого нужно сначала преобразовать формулировку:
Без потери общности можем предположить, что b - должно быть четным числом, а значит представимым в виде 2k.
Возьмем, например, конкретный случай и рассмотрим, какие варианты слагаемых у нас получаются:
Как видите, в одном из пяти вариантов есть интересующий нас случай (5), когда b = c, а значит условие теоремы выполняется (ведь тогда 4bc = 4b^2 = (2*b)^2 - полный квадрат).
Интересно будет визуализировать эти случаи. Для этого мы построим квадрат со стороной a , на сторонах которого прямоугольники со сторонами b и c.
Для первого случая:
Для третьего:
И, наконец, для пятого:
Всё дальнейшее доказательство основано на том, что для любого простого числа рассматриваемого вида всегда имеется НЕЧЕТНОЕ количество троек, составляющих его разложение. Причем, среди этих троек только одна допускает идентичное преобразование между b и c:
Строгое доказательство теоремы Ферма, использующее алгебраизацию приведенных нами рисунков дал в 1990 году американский математик Дон Цагир.
Он явно построил функцию f(a,b,c), которая переводит любое решение уравнения p=a^2+4bc в его же решение:
Такие отображения называются инволюциями. Оказывается, что каждая инволюция на нечетном числе элементов (нечетное количество решений нашего уравнения) имеет по крайней мере одну неподвижную точку - тройку чисел, в которой b совпадает с c, что приводит к доказательству рождественской теоремы Ферма.
- Спасибо за внимание!