Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Открываем новый математический год материалом о фундаментальном понятии, с которым Вы все без исключения сталкивались еще за школьной скамьей: речь пойдет про инволюцию. Не пугайтесь, если в такой трактовке с ним не знакомы. Всё проще, чем Вы думаете. Поехали!
Итак, инволюция - это преобразование, обратное самому себе. В более конкретном смысле можно говорить про инволюционную функцию или инволюционное преобразование. Тогда на понятном языке это описывается следующим образом:
Теперь можно привести несколько примеров инволюции, причем многие из которых будут до боли простыми.
Умножение на -1
Понятно, что последовательное умножение на -1, например, в поле вещественных чисел, приводит к изначальному результату:
Поворот окружности на 180 градусов
Очевидно, что такая операция также является инволюцией, возвращая точку на окружности в исходное положение.
Логическое отрицание
Двойное применение этого унарного оператора оставляет высказывание "на месте", а значит является инволюцией для элементов булева множества.
Более сложные инволюции
Еще одним примером инволюции для вещественных чисел является следующая функция:
Интересно будет посмотреть на график этой инволюции, чтобы заметить его симметричность относительно прямой y=x:
В более общем случае инволюцией на плоскости является симметричное отражение относительно прямой.
И это не удивительно! Если функция является инволюцией, то она является обратной самой себе. На нашем примере это можно легко показать, если поменять местами x и y:
Сопряжение для комплексных чисел
В поле комплексных чисел инволюцией является комплексное сопряжение:
Пример с комплексным сопряжением стоит рассмотреть и с геометрической точки зрения:
Как видно из рисунка, инволюция комплексного сопряжения переводит точку в симметричную относительно вещественной оси.
Транспонирование матриц
так же является инволюцией, ведь оно по определению меняет строки и столбцы местами. Если проделать это два раза, то получим исходную матрицу.
Самый простой пример на свете
Конечно, есть еще множество примеров как и из линейной алгебры, так и в теории групп, колец, множеств и т.д. Однако хотелось бы закончить самым тривиальным примером инволюции:
Этот пример - тождественное отображение, которое ставит в соответствие элементу множества его же самого. Важное отличие этой инволюции от рассмотренных выше в том, что применять инволюцию можно сколько угодно, и результат не поменяется. Именно таким образом мы подходим к понятию, которое я уже рассматривал раньше - идемпотентности.
- Ставьте "Нравится" и подписывайтесь на канал прямой сейчас, чтобы не пропустить следующие публикации.