В курсе начертательной геометрии рассматриваются задачи, в которых используются свойства взаимно параллельных или взаимно перпендикулярных плоскостей. В экзаменационных билетах довольно часто встречаются задания на построение параллельных или перпендикулярных плоскостей. Рассмотрим несколько задач на эту тему.
Признак параллельности двух плоскостей
Если в плоскости лежат две различные прямые, параллельные двум различным прямым, лежащим в другой плоскости, то эти две плоскости параллельны.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если в плоскости α существует прямая, перпендикулярная другой прямой, принадлежащей плоскости β, то эти плоскости взаимно перпендикулярны.
Задача 6.2.
Построить плоскость, параллельную заданной треугольником АВС, на расстоянии 20 мм от нее. (рис. 6.8.)
Решение данной задачи можно разделить на два этапа:
1. Построение точки, удаленной на заданное расстояние от плоскости.
2. Построение двух прямых через найденную точку, задающих параллельную плоскость.
Для того, чтобы построить точку, удаленную от плоскости на заданное расстояние, вначале нужно восстановить перпендикуляр из какой-либо точки, принадлежащей этой плоскости. Построим перпендикуляр из точки С — одной из вершин заданного треугольника. Повторим, что перпендикуляр к плоскости строится с помощью построения в этой плоскости горизонтали и фронтали. (так же эта тема рассмотрена в статье Перпендикуляр к плоскости )
Правило построение проекций перпендикуляра к плоскости:
Горизонтальная проекцияперпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.
Фронтальная проекцияперпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Построим фронталь f и горизонталь h в плоскости треугольника АВС (рис. 6.9)
Проедем горизонтальную проекцию перпендикуляра из точки С1 под прямым углом к прямой h1.
Из точки С2 проведем перпендикуляр к прямой f2, а из точки C1 - к прямой h1 (рис.6.10)
Чтобы найти точку, через которую будет проведена параллельная плоскость, нужно найти прямую для определения натуральной величины построенного перпендикуляра. Возьмем на построенной прямой произвольную точку Р (рис. 6.11.)
На рис. 6.12 показано определение натуральной величины отрезка СР методом прямоугольного треугольника (дополнительно можно посмотреть Занятие 3. Метод прямоугольного треугольника.)
Прямая С1Ро отражает натуральную величину перпендикуляра к плоскости треугольника АВС. Отметим на этой прямой расстояние 20 мм и построим точку S (рис. 6.13). Точка S находится на расстоянии 20 мм от заданной плоскости.
По признаку параллельности двух плоскостей через проекции точки S проведем две прямые, параллельные двум сторонам треугольника АВС. Через эти прямые проведем искомую плоскость α. Задача решена. (рис.6.14).
Задача 6.3. Через прямую MN провести плоскость, перпендикулярную плоскости, заданной четырехугольником АВСD. (рис. 6.15).
Для решения этой задачи нужно провести перпендикуляр к заданной плоскости из любой точки, принадлежащей прямой MN.
Как и в предыдущей задаче, построим сначала горизонталь и фронталь в плоскости ABCD — прямые h, f. Необходимые нам проекции этих прямых на рисунке 6.16 показаны синей штриховой линией.
Из точки М проведем перпендикуляр МК к плоскости прямоугольника, как показано на рисунке 6.17.
В соответствии с признаком перпендикулярности двух плоскостей, заданную прямую MN и построенный перпендикуляр МК заключаем в плоскость и получаем решение задачи (рис.6.18)
Задача 6.4. Плоскость α задана следами. Построить следы плоскости β, параллельной заданной плоскости, находящейся на расстоянии 20 мм от нее. (рис. 6.19).
Задачу будем решать по такому плану:
1. Возьмем в пространстве произвольную точку А и восстановим из нее перпендикуляр к плоскости α.
2. Найдем точку В - пересечения этого прерпендикуляра с плоскостью α.
3. Определим натуральную величину отрезка АВ и найдем точку, удаленную на 20 мм от заданной плоскости.
4. Проведем через точку В фронталь для новой плоскости и найдем ее горизонтальный след.
5. Построим следы плоскости β.
Обозначим произвольно точку А и проведем из нее перпендикуляр к плоскости α. Он пройдет под прямым углом к следам заданной плоскости. (рис. 6.20)
Найдем точку В — точку пересечения перпендикуляра с плоскостью α. Для этого его горизонтальную проекцию заключим в фронтально-проецирующую плоскость ФП, и найдем линию пересечения ФП с заданной плоскостью — рис.6.21. (подробно эту тему можно посмотреть в статье Первая позиционная задача...)
Найдем натуральную величину отрезка АВ методом прямоугольного треугольника (рис. 6.22)
Найдем на прямой АВ горизонтальную проекцию точки Р, удаленой от плоскости α. На 20 мм. (рис. 6.23)
Достроим фронтальную проекцию точки Р — точку Р2 и проведем через точку Р фронталь в плоскости, параллельной плоскости α. Она будет параллельна фронтальному следу плоскости α.
Построим след фронтали f – на рисунке 6.24 проекции этого следа (точка 1) выделены цветом. ( можно подробно посмотреть тему Следы прямой).
Поскольку следы параллельных плоскостей параллельны друг другу, проведем через точку 11 горизонтальный след плоскости β до пересечения с осью х. Затем из этой точки на оси проведем фронтальный след плоскости β. Задача решена (рис.6.25).