§10. Построение перпендикуляра к плоскости. Расстояние от точки до плоскости.
В курсе Начертательной геометрии часто встречаются задачи, связанные с проведением перпендикуляра к заданной плоскости. Существует теорема о проекциях прямого угла, которая имеет следующую формулировку:
Если одна из сторон прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то проекция угла на эту плоскость является также прямым углом.
Исходя из этой теоремы, можно утверждать следующее:
Горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали этой плоскости.
Фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости перпендикулярна фронтальной проекции фронтали этой плоскости.
Задача 10.1.
Определить расстояние от точки D до плоскости, заданной треугольником АВС (рисунок 47).
Решение:
Расстояние от точки до плоскости измеряется по перпендикуляру, проведенному от этой точки до заданной плоскости. Поэтому для решения этой задачи нужно выполнить следующие действия, которые являются алгоритмом для решения задач на определение расстояний от точки до плоскости:
1. Проводим две проекции перпендикуляра к плоскости.
2. Находим точку пересечения этого перпендикуляра с данной плоскостью (первая позиционная задача).
3. Определяем натуральную величину отрезка от заданной точки до точки пересечения перпендикуляра с плоскостью.
Итак, проводим перпендикуляр от точки D до плоскости треугольника АВС. Построим в плоскости треугольника горизонталь h. На горизонтальной проекции эпюра восстановим перпендикуляр из точки D1 к прямой h1 (рис. 48). Мы получили горизонтальную проекцию перпендикуляра.
Проведем в плоскости треугольника фронталь и построим фронтальную проекцию перпендикуляра к плоскости. (Рис. 49).
Следующий шаг решения задачи – определение точки пересечения перпендикуляра с заданной плоскостью, то есть, предстоит решить первую позиционную задачу, алгоритм которой был рассмотрен в занятии 7 (§7). Заключаем перпендикуляр в проецирующую плоскость (ФПП), находим прямую пересечения ФПП с плоскостью треугольника АВС, а затем определяем точку К – искомую точку пересечения перпендикуляра с плоскостью (рис. 50).
Находим натуральную величину отрезка DK методом прямоугольного треугольника (см. Занятие 3), решение задачи представлено на рисунке 51.
Задача 10.2.
Построить эпюр прямой призмы, основанием которой является четырехугольник АВСD, высота призмы 30 мм. Исходные данные представлены на рисунке 52.
Решение.
Боковые ребра прямой призмы перпендикулярны ее основанию. Для решения задачи восстановим перпендикуляр к плоскости четырехугольника из любой вершины основания, например, из точки А.
На горизонтальной проекции нужно провести перпендикуляр к проекции горизонтали плоскости основания – это будет горизонтальная проекция перпендикуляра. Поскольку сторона АВ является горизонталью, проводим прямой угол к прямой А1В1 из точки А1 (рис. 53).
Прежде чем построить фронтальную проекцию, нужно провести в плоскости основания призмы фронталь и провести перпендикуляр к прямой А212 из точки А2 (рисунок 53).
Определяем натуральную величину высоты призмы. На построенном перпендикуляре возьмем произвольную точку Р и определим натуральную величину отрезка АР. Луч А1Р0 является направлением натуральной величины прямой АР (рисунок 54).
На луче А1Р0 отмеряем отрезок 30 мм и методом пропорций переносим полученную точку на перпендикуляр. Получаем точку Е - проекции Е1 и Е2 (рис. 55). Точка Е – это одна из вершин второго основания призмы.
Известно, что стороны оснований прямой призмы попарно параллельны, поэтому от точки Е достраиваем четырехугольник – второе основание призмы, соединяем вершины оснований ребрами, определяем видимость ребер и получаем окончательное решение задачи. Для наглядности грани призмы затонированы (рис.56).