§ 7. Первая позиционная задача. Построение точки пересечения прямой линии с плоскостью
Задача 7.1. Построить точку пересечения прямой п с плоскостью треугольника АВС. Определить видимость прямой п. (Рисунок 101)
Решение.
Задачи данного типа решаются в три этапа:
1. Проведение через заданную прямую вспомогательной проецирующей плоскости и нахождение линии пересечения этой вспомогательной плоскости с заданной плоскостью.
2. Построение точки пересечения прямой и плоскости, опираясь на результат этапа 1..
3. Определение видимости прямой.
1. Для решения задачи применяют проецирующую плоскость, проходящую через заданную прямую. Заключим прямую п в горизонтально проецирующую плоскость. Данная плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, на которой она отобразится в виде прямой, совпадающей с проекцией п1 . Обозначим ее утолщенной линией и буквами ГП1 (рисунок 102).
ГП пересекает стороны ΔАВС в точках 1 и 2: в точке 1 – со стороной АВ, а в точке 2 – со стороной ВС. Покажем проекции этих точек на эпюре (см. рис. 102).
Можно утверждать, что ГП, проведенная через прямую п пересекает плоскость треугольника АВС по прямой, проходящей через точки 1 и 2. На горизонтальной проекции эта прямая совпадает с прямой п (как и все другие прямые, лежащие в плоскости ГП), а на фронтальной проекции мы получаем эту прямую, соединив точки 12 и 22.
2. На пересечении проекций прямых п2 и (12 - 22) построим точку К2, которая является фронтальной проекцией точки К - точки пересечения прямой п и прямой, проходящей через точки 1 и 2. Найдем проекцию К1, проведя линию связи с фронтальной проекции на горизонтальную до пересечения с проекцией прямой п1 (рисунок 103).
3. Чтобы определить видимость прямой п, рассмотрим конкурирующие точки (рисунок 104)
Конкурирующими называются две точки, одна из проекций которых совпадает. На горизонтальной проекции рассмотрим конкурирующие точки, лежащие на стороне АВ (проекция А1В1) и прямой п (проекция п1). Их горизонтальная проекция совпадает – это точка 11. Если мы посмотрим на фронтальную проекцию эпюра, направив взгляд по проекционной линии связи, то увидим, что Прямая АВ лежит выше, чем прямая п, а это значит, что на горизонтальной проекции сторона А1В1 перекрывает прямую п1 , которая после пересечения с А1В1 становится невидимой. Далее, в точке К1 прямая как бы «протыкает» плоскость треугольника и становится видимой.
На фронтальной проекции также рассмотрим конкурирующие точки на прямой АВ (проекция А2В2) и прямой п (проекция п2). Направляем взгляд по стрелке вниз (рис. 104) и видим, что точка, расположенная на прямой п ближе к нам (ниже на эпюре), поэтому прямая п2 в месте пересечения со стороной А2В2 видимая, а после прохождения точки К2 становится невидимой.
Окончательно решение задачи выглядит так, как показано на рисунке 105.
Задача 7. 2. Построить точку пересечения прямой а с плоскостью, заданной параллельными прямыми m и n. Определить видимость прямой а. (Рисунок 106).
Решение:
Данную задачу решаем аналогично задаче 1.Для разнообразия вместо горизонтально проецирующей плоскости проведем фронтально проецирующую – результат решения от этого не изменится. Заключим прямую а в фронтально-проецирующую плоскость ФП, обозначив ее на эпюре как ФП2.
Плоскость ФП, проведенная через прямую а пересекает заданную плоскость по прямой, проходящей через точки 1 и 2. фронтальной проекции эта прямая совпадает с прямой п, а на горизонтальной проекции мы получаем эту прямую, соединив точки 12 и 21. Получив на эпюре точку N1 от пересечения прямой (11-21) и а1, «поднимаем» от нее линию связи на фронтальную проекцию и получаем на проекции а2 точку N2.
Видимость прямой определяем методом конкурирующих точек. Решение задачи представлено на рисунке 107.
Задача 7.3. Построить точку пересечения прямой l с плоскостью α, заданной следами . Определить видимость прямой l. (Рисунок 108).
Решение.
Заключим прямую l в горизонтально-проецирующую плоскость ГП и найдем точки пересечения этой плоскости со следами заданной плоскости α. Точка 1 – это точка пересечения ГП с горизонтальным следом α1, а точка 2 – это точка пересечения ГП с фронтальным следом α2 (рисунок 109).
Поскольку следы плоскости – это прямые, принадлежащие плоскостям проекций и самой плоскости, то нахождение проекций точек пересечения их с вспомогательной плоскостью ГП не представляет затруднений (см. рис. 109).
Также как и в двух предыдущих задачах, проведем прямую (1-2), являющуюся результатом пересечения ГП и плоскости α. Фронтальная проекция этой прямой представлена отрезком [12-22], а ее горизонтальная проекция совпадает с проекцией l1. Теперь мы можем получить проекцию М2, и «опустив» ее на плоскость Н получаем проекцию М1. Точка пересечения Прямой l и плоскости α найдена.
Видимость в данном случае легко определить интуитивно, поскольку плоскость задана следами. Применение метода конкурирующих точек также дает верное решение.
Упражнение 7.
Построить точку пересечения прямой l с плоскостью, заданной пересекающимися прямыми а и b. Определить видимость прямой l. (Рисунок 110)