Математика онлайн. Доступно о сложном. Серия «Задачи профильного ЕГЭ»
Здравствуйте!
При решении стереометрических задач профильного ЕГЭ часто приходится строить сечения многогранников плоскостью.
Эти построения у большинства старшеклассников вызывают затруднения.
Разберем очень подробно одну из таких задач.
Точки M и N лежат в плоскости ABC «нижней» грани.
Такого термина в математике, конечно же, нет. О «нижней», «верхней» или, например, «правой» гранях будем говорить лишь для того, чтобы текст легче воспринимался, и можно было сконцентрироваться на рассуждениях, не разыскивая долго нужные точки. Кавычки используем, так как положение граней зависит от ориентации куба.
Соединив эти точки, получим след плоскости MNP сечения в плоскости ABC.
Аналогично можно соединить точки N и P (обе лежат в плоскости BCC1).
Дальше будет немного сложнее.
Сделаем дополнительные построения.
Продолжим MN за точку N до пересечения с прямой DC. Точку пересечения обозначим через X.
Для чего нужна эта дополнительная точка?
Точка X, с одной стороны, лежит на прямой MN и, следовательно, в плоскости MNP сечения, а с другой стороны, она лежит на прямой DC, значит, в плоскости DCC1 "задней" грани.
Аналогично обстоят дела с точкой P. Она также принадлежит одновременно плоскости сечения и плоскости "задней" грани.
Таким образом, проведя прямую через точки P и X, мы получим след плоскости MNP сечения в плоскости DCC1.
Обозначим через Q точку пересечения прямых XP и D1C1.
Далее можно было бы продолжить использование метода следов (найти точки пересечения прямых PQ и DD1, а также MN и AD; обе они лежат в плоскости ADD1 «левой» грани, т.е. через них можно провести прямую).
Однако проще поступить по-другому.
Вспомним одно из свойств параллельных плоскостей.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Плоскости ABC и A1B1C1 параллельны (так как ABCDA1B1C1D1 – куб), следовательно, прямые, по которым их пересекает плоскость MNP, тоже будут параллельны.
Поэтому достаточно через точку Q провести прямую, параллельную MN. В результате мы получим прямую пересечения плоскости MNP сечения и плоскости A1B1C1 «верхней» грани.
Буквой R обозначим точку пересечения этой прямой и A1D1.
Аналогично предыдущему, в плоскости ADD1 «левой» грани через точку R проведем прямую, параллельную прямой NP. Точка S – это точка пересечения только что построенной прямой и ребра AA1.
Осталось соединить точки S и M (обе лежат в плоскости ABB1).
Кстати, прямые MS и PQ параллельны, так как получены пересечением параллельных плоскостей ABB1 и DCC1 плоскостью MNP.
Итак, шестиугольник MNPQRS – искомое сечение.
На пространственной модели это сечение выглядит так:
Как Вы думаете, может ли при другом расположении точек M, N и P в сечении получится семиугольник? А пятиугольник или четырехугольник? Напишите Ваш вариант ответа в комментарии.
И еще один вопрос. Как надо отметить точки M, N и P (на тех же самых ребрах куба), чтобы шестиугольник в сечении был правильным?
А теперь информация для учителей математики, старшеклассников и их родителей.
Тема «Построение сечений многогранников» будет даваться намного проще, если не только работать с плоским чертежом, но и видеть, как выглядят реальные рассеченные многогранники (например, призмы, пирамиды).
В интернет-магазине «Многогранники» можно приобрести как готовые модели, так и развертки для самостоятельного склеивания наглядных пособий.
Качество картона очень хорошее, модели прослужат долго. Сборка нетрудная, есть инструкция и удобные указатели на развертках.
Сборка таких моделей школьниками не только поможет лучше разобраться со сложной темой, но и станет своеобразным творческим развлечением.
