Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу показать Вам простой и красивый способ вывести одну из основных теорем школьной геометрии - теорему косинусов. Когда-то я показывал Вам её вывод с использованием комплексных чисел:
Если этот вывод использовал уже знания из математического анализа, то сегодняшняя процедура - чисто геометрическая. Итак, поехали!
Нарисуем окружность и вписанный в неё прямоугольный треугольник:
Вписанный в окружность прямоугольный треугольник в качестве гипотенузы имеет один из диаметров окружности. Проведем через центр окружности еще один диаметр, который делит наш треугольник на два:
Теорему косинусов мы будем выводить для заштрихованного треугольника. Для этого введем соответствующие обозначения:
Здесь мы использовали только определение косинуса для одного из углов прямоугольного треугольника. Теперь время пришло для применения более сложной теоремы - о пересечении хорд:
Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
- Доказательство закончено! Спасибо за внимание!
