Дугинов Л. А., L.Duginov@mail.ru
Розовский М. Х.
Ключевые слова: гидравлический расчет, итерационная формула, линейное сопротивление, обратная функция.
Введение
Данный метод основывается на локальном пересчете линейных гидравлических сопротивлений Ал (линейных ГС) на каждом участке гидравлической схемы (цепи), то есть независимо от ГС других участков.
Для пересчета используются значения падений давления (ΔH) на каждом участке, а также функция, связывающая ΔH с расходом на этом участке, – ΔH = f (Q), и соответствующая обратная функция Q = f –1 (ΔH).
Описание этого метода было опубликовано в 1975 г. в журнале «Электротехника» [1]. Мы считаем необходимым снова опубликовать этот метод, так как он представлен только в [1], [2] и [6].
- В отличие от других методов, используемых для решения соответствующих систем уравнений (см. [3], [4], [5]), применяемая итерационная формула обеспечивает сходимость расчета практически для любых схем, включая схемы с регуляторами расхода и давления, даже если в процессе итерационного расчета меняется функция, связывающая падение напора на участке с соответствующим расходом (например, ламинарный режим течения переходит в турбулентный).
- Сама формула записывается в очень простом виде, что позволяет легко линеаризовать систему уравнений Кирхгофа с пересчетом линейных ГС между итерациями.
- При этом можно задаваться практически любыми начальными значениями и направлениями расходов, и это практически не влияет на число необходимых итераций.
- Сам метод позволяет единообразно реализовать различные зависимости между ΔH и Q, например, из справочника [7], в т. ч. табличные зависимости.
Явная зависимость между Q и ΔH, например, в случае критического истечения газа из баллона, тоже легко реализуется с помощью этого метода.
- Этот метод явился основой серии программ гидравлического расчета. В 1980 г. был разработан комплекс программ теплогидравлического расчета Derbi. Он модернизируется авторами до сих пор (последняя версия выпущена уже в 2020 г.). Расчеты можно проводить с учетом изменений температуры среды, то есть можно выполнять также теплогидравлический расчет.
- Все это проверено многолетним опытом применения нашей итерационной формулы.
Описание метода
Вывод итерационной формулы для линейного ГС (Aл) основывается на двух формах записи падения давления для каждого (элементарного) участка гидравлической схемы (в случае известной степенной зависимости):
где:
ΔH – падение давления на элементарном гидравлическом участке;
A – коэффициент сопротивления элементарного гидравлического участка; Aл – линейное сопротивление элементарного гидравлического участка;
Q – расход среды через данный участок; n – показатель степени, характеризующий режим течения среды. Величина и размерность сопротивления A зависит от степени n (n = 1 – ламинарный режим,
1< n ≤ 2 в случае турбулентного или переходного режима течения).
Примечание: Обычно А привязывают к n = 1 или n = 2 и называют коэффициентом гидравлического сопротивления (КГС). Но можно привести много примеров, когда КГС зависит от расхода Q, и обычно это выражается в виде степенной зависимости. В таких случаях ΔH можно записывать в виде формулы (1), где значение n отлично от 2, а величина A не зависит от Q. Например, при использовании известной формулы Блазиуса величина
Из формулы (2) Q = ΔH / Aл. После подстановки в формулу (1) получаем итерационную формулу для расчета линейного сопротивления элементарного участка:
Обычно в современных методах расчета падение напора ΔH на гидравлическом сопротивлении A рассчитывается для показателя степени
n = 2:
здесь:
ξ – коэффициент гидравлического сопротивления
(КГС), определяемый из опыта или из справочной литературы [7] в зависимости от геометрии участка и значения числа Рейнольдса (Re), определяющего режим течения среды.
ρ – плотность среды, F – площадь канала. Поскольку вся справочная литература и результаты опытных данных для расчета величины сопротивления А привязаны к степени n = 2, формулу (3) для линейного сопротивления можно упростить:
Но если значение n отлично от 1 и 2, данный метод сходится гораздо быстрее при использовании формулы (3). Следует обратить внимание, что после подстановки ΔH из (1) в (2) получают еще одну формулу линейного сопротивления для элементарного участка:
Эту формулу очень часто используют для организации итерационного процесса (см. [3, 4 и 5]). Причем, как показал наш опыт, значения Aл' необходимо усреднять по формуле:
где:
i - номер итерации C = 2, или C определяется по специальным формулам. Без усреднения величины Aл' итерационный процесс решения системы нелинейных уравнений со степенью n = 2 сразу же (после 2-й итерации) зацикливается. Это происходит потому, что для Aл, определенного по формуле (3), условия (1) и (2) одновременно выполняются в каждой итерации, а для Aл' по формуле (5) эти условия выполняются только в конце итерационного процесса, когда расход Q достигает правильных значений. Данный метод позволяет задавать практически любое начальное приближение, причем число итераций слабо зависит от его выбора. Поэтому начальный расход Q для всех ветвей схемы замещения можно задавать равным 1, определяя Aл в 1-й итерации по формуле Aл = A*Q, то есть на каждом гидравлическом участке Aл = A (без учета режима течения среды). Между итерациями по величине числа Re проверяется соответствие выбранной формуле для сопротивления, и при необходимости она заменяется. Такая замена не приводит к срыву итерационного процесса, так как данный метод (как показывает опыт) обеспечивает сходимость даже при резком изменении одного или нескольких сопротивлений Aл. Это позволяет, например, включать в схему регуляторы расхода или давления.
Более общий подход
Если записать формулу (1) в более общем виде – ΔH = f (Q), то описанный выше итерационный метод можно представить следующим образом. После очередной итерации мы получаем текущие значения расходов Q, и, тем самым, значения ΔHтек для каждого участка схемы замещения. Чтобы определить значения Ал на каждом участке для следующей итерации, используется обратная функция, связывающая расход с падением давления:
Для следующей итерации Ал = ΔHтек / Qпрогн. Затем, как и для предыдущей итерации, решаем систему линейных уравнений, получаем значения Q, значения ΔH, Qпрогн и Ал, пока не будет достигнута заданная точность итерационного процесса.
Примечание. Функция f (Q) не обязательно представляет степенную зависимость. Это может быть, например, таблично заданная функция
(и тогда обратная функция тоже задается таблично).
что совпадает с приведенной выше формулой (4).
что совпадает с приведённой выше формулой (3)
Пример расчета
На рисунке 1 показана объемная схема, в которой ветвь 1 входит сразу в четыре контура. Каждая ветвь состоит из трех участков, на которых рассчитываются сопротивления входа, трения и выхода. Кроме того, плотность газа на каждом участке рассчитывается в зависимости от величины местного давления. В ветви 1 и 4 включены напорные элементы H1 и H2. В ветви 2, 3 и 4 включены регуляторы расхода
(Р2, Р3 и Р4), настроенные на различные значения Q.
В таблице 1 приведены значения относительной погрешности расчета для расходов по итерациям – сначала для схемы без регуляторов, затем для схемы с тремя регуляторами. В таблице 2 приведены результаты расчета для схемы с тремя регуляторами (приведены первые пять ветвей).
Литература
1. Аврух В. Ю., Дугинов Л. А., Карпушина И. Г., Шифрин В. Л. Математическое моделирование на ЭВМ вентиляционных систем турбогенераторов // Электротехника. – 1975. – № 12.
2. Аврух В. Ю., Дугинов Л. А. Теплогидравлические процессы в турбо- и гидрогенераторах. – М.: «Энергоатомиздат»,1991. C. 50–55.
3. Коздоба Л. А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса. – М.: «Энергия», 1972.
4. Баранчикова Н. И., Епифанов С. П., Зоркальцев В. И. Неканоническая задача потокораспределения с заданными напорами и отборами в узлах
/ УДК 628.144:532.542.
5. Мызников А. М. Моделирование и идентификация параметров сложных гидравлических сетей: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук:
Мызников Алексей Михайлович. – Тюмень, 2005.
6. Филиппов И. Ф. Теплообмен в электрических машинах. – М.: «Энергоатомиздат», 1986. – C. 204.
7. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. – М.: «Машиностроение», 1992
