Уверен, многие из вас, дорогие читатели, встречали этот симпатичный способ запомнить табличные значения тригометрических функций, синуса и косинуса, в первой четверти:
К нему даже приспособили растопыренные пальцы для пущей понятности.
Польза от этого способа есть, он позволяет не только запомнить значения синуса и косинуса, но и усвоить кто из них растёт, а кто убывает в первой четверти. Но есть в нëм кое-что любопытеое. Аргумент α меняется неравномерно, а под корнями при этом наблюдаются линейные зависимости. Но мы же прекрасно понимаем, что тригонометрия не ограничивается квадратными корнями. О чëм говорит нам эта линейная зависимость? Почему значений именно пять, а не больше? И почему под корнями равномерно перебираются четверти?
Откуда взялась линейность
Давайте сначала посмотрим на то, как этот способ выглядит графически. Нанесём значения синуса и косинуса из таблицы, как точки на координатной плоскости.
Ожидаемо получим пять точек, лежащих на окружности с единичным радиусом. Точки, соответствующие подкоренным выражениям (зелёные), при этом выстраиваются в аккуратную линию. В этом тоже нет ничего неожиданного, если вспомнить, что sin²(x) + cos²(x) = 1, а значит, квадраты синуса и косинуса, действительно, связаны линейным соотношением.
Ответы на другие вопросы потребуют некоторых усилий и существенной вылазки за пределы школьной математики, так что дальше я приглашаю столь же бесстрашных и любопытных читателей, какими бывают некоторые еноты.
Почему значений только пять?
В одной из предыдущих заметок, мы разбирались с тем, почему тригонометрия рациональных углов, как правило, иррациональна. В ней приводилось выражение для алгебраической степени значений синуса, косинуса и тангенса:
Напомню, что алгебраической степенью числа называется минимальная степень неприводимого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, корнем которого это число может быть. Таким образом, корни линейных уравнений имеют алгебраическую степень 1. Решения целочисленных квадратных уравнений будут иметь степень 2. И так далее. О каких именно уравнениях идёт речь, я скажу немного позже.
В приведённой выше формуле используется функция Эйлера 𝛗(n), которая играет очень важную роль в теории чисел. Она определена на множестве натуральных чисел и равна количеству чисел, не превышающих n и взаимно с ним простых.
Взгляните на первые двенадцать значений функции Эйлера, а также на соответствующие доли круга и алгебраические степени косинуса и синуса для этих долей:
Эту таблицу можно продолжить и дальше, но чем больше оказывается число n, тем больше можно отыскать чисел с ним взаимно простых. Вот как растёт функция Эйлера:
Более или менее удобоваримыми можно считать числа с алгебраической степенью 1 и 2. Но 𝛗(n) становится больше 2, для всех n > 6 , а если n > 12, то 𝛗(n) уже не опустится ниже четырёх. Это значит, что в табличке мы перечислили все возможные рациональные доли окружности, в которых косинус и синус имеют шанс попасть на страницы школьного учебника. Таких углов в первой четверти оказывается всего пять, и это ровно те углы, что оказались в таблице, с которой начался наш разговор.
Вот как выглядит распределение по углам максимального значения алгебраических степеней для тригонометрических функций.
Табличные значения углов попадают внутрь радиуса, ограничивающего алгебраические степени меньше 3.
А причём тут четвёрки?
Итак, почему чисел в таблице всего пять, мы разобрались. Понятно также почему они образуют линейную зависимость под корнем. Но каким образом они оказались расположены на одинаковом расстоянии друг от друга, и отчего во всех подкоренных выражениях в знаменателях четвёрки?
Пора нам взглянуть на те самые алгебраические уравнения, о решениях которых мы говорили, когда рассуждали об алгебраических степенях.
В школьном курсе значения тригонометрических функций от примечательных углов выводятся геометрически. Однако эти вычисления можно свести к решению чисто алгебраических задач.
Из формул косинуса суммы несложно получить полезное соотношение:
Подставляя натуральные числа n можно вывести следующие равенства:
Если теперь заменить cos(α) на формальную переменную x и ввести обозначение cos(nα) = Tₙ(x), то мы получим последовательность многочленов:
для которых выполняется общее правило:
Мы получили семейство многочленов Чебышёва (первого рода), которые используются в широком ряде задач от приближённых вычислений и численного интегрирования, до теории сигналов и радиосвязи.
Приравнивая многочлен Tₙ(x) к значениям косинуса какого-нибудь угла, можно вычислить косинус от n- ной доли этого угла. Например, решив уравнение T₃(x) = cos(α) = 4x³ − 3x, мы найдём x = cos(α/3).
Так можно найти все значения из обсуждаемой нами волшебной таблицы. Например, для x = cos(π/6) = cos((π/2)/3) мы получаем:
Найдите алгебраически значения cos(π/4), cos(π/3), и чтобы почувствовать себя крутым математиком, cos(π/8) и cos(π/12).
Имея многочлены Чебышëва, мы видим откуда берутся четвёрки. Обратите внимание на то, что все многочлены Tₙ(x) имеют коэффициент при старшей степени 2ⁿ, который, появляется из-за двойки в рекуррентеом определении многочленов. В то же время, все пять значений из мнемонической таблицы получаются из уравнений, вытекающих из T₃(x) и T₂(x). А в них старшие коэффициенты равны 2 или 4. В результате, все квадраты значений с алгебраической степенью не превышающей 2, можно записать так, чтобы старший коэффициент был равен 4. Для других долей окружности порядки уравнений становятся выше, и либо их решения будут выражаться через нагромождение корней и дробей, либо не решаются в конечной форме вовсе.
Подведëм итог нашей вылазки. Мы выяснили, что среди углов, являющихся рациональной долей полного круга, есть только пять, для которых значения синуса и косинуса имеют алгебраическую степень 1 или 2. Для всех этих углов уравнения, выводимые из многочленов Чебышëва имеют старший коэффициент 2 или 4, таким образом, все эти значения будут квадратными корнями из рациональных чисел со знаменателем 4. Так как все они должны оказаться в интервале [0, 1], то в нашем распоряжении оказывается ровно пять таких рациональных чисел: 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 и 4/4. Иные значения возможны, но будут иметь более сложную структуру и более высокую алгебраическую степень.
Благодарю за храбрость тех, кто пробрался вместе со мной сквозь дебри теории! Вместе не так страшно.