Почему в школьной таблице синусов и косинусов так мало чисел, которые легко запомнить? Почему тангенсы, синусы и косинусы от "хороших" углов имеют "нехорошие" значения?
Взгляните на таблицу тригонометрических функций:
Вся эта красота врывается в жизнь восьмиклассника и способна здорово отравить её неинтуитивными иррациональными значениями, содержащими корни не то из 2 не то из 3, которые как-то надо запоминать. Рациональные значения представлены в этой таблице только четырьмя числами: 0,1/2 и ±1, все же остальные содержат квадратные корни. Наконец, в таблице кроме нулевого и прямого, нет таких углов, для которых все тригонометрические функции принимали бы рациональные значения одновременно.
Из-за этой сплошной иррациональности полностью решить прямоугольный треугольник, то есть узнать все точные значения углов, сторон и их отношений, возможно лишь в двух особых случаях: в треугольнике с углами (45°, 45°, 90°) и с углами (30°, 60°, 90°). Этим треугольникам в школьной программе можно смело ставить памятник!
Что же делает перечисленные углы "хорошими", и почему именно их мы заучиваем в школе? Они выражаются целыми числами в угловой мере, то есть, являются делителями 360°, или полного оборота. Может быть, мы не те углы выбрали для таблицы? Давайте взглянем на некоторые другие рациональные доли полного оборота:
Жуть! Ещё хуже стало. Получается, что в школьную таблицу попали те углы, для которых тригонометрия ещё терпимо иррациональна. У других шансов получить звание "хороших" очень невелики.
В то же самое время, все тригонометрические функции, это ведь просто отношения длин сторон в прямоугольном треугольнике. В обыкновенной тетрадке в клеточку мы можем нарисовать сколько угодно прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами, для которых все тригонометрические функции будут принимать внятные рациональные значения:
Почему же эти значения не оказываются в таблицах тригонометрических функций? Дело в том, что для этих чудесных треугольников невозможно точно вычислить углы: они не будут рациональными долями 360° или полного оборота.
Получается, что либо углы рациональны, но тогда тригонометрия превращается в нагромождение корней, либо тригонометрия рациональна, а углы — нет. Одновременно всё становится рациональным только в самых примитивных случаях для 0°, 90°, 180° и 270°. Это значит, что углы и тригонометрические функции почти всегда несоизмеримы друг с другом. И дело тут не в выборе конкретной угловой меры, а в более фундаментальном свойстве евклидова пространства, в котором мы работаем.
А почему не вместе?
Разобраться, почему других хороших треугольников не бывает, помогут наши знания о регулярных решётках, которые мы получили в предыдущих двух заметках на эту тему:
Все прямоугольные треугольники с рациональной тригонометрией имеют стороны, образующие, так называемые, пифагоровы тройки: целые числа a, b и c, такие что a² + b² = с². И все они могут быть построены на регулярной прямоугольной решётке. Но увы, кажется, на этой же решётке невозможно построить никакой угол, выражающийся через рациональную долю полного оборота, кроме тех, что кратны 45°.
Для того, чтобы убедиться в этом, нужно вспомнить, что точки на регулярной решётке можно рассматривать, как комплексные числа с целыми вещественной и мнимой частями. Они называются гауссовыми числами. Рисуя прямоугольники, мы рассматривали геометрический смысл разложения гауссовых чисел на простые множители. Сейчас нам нужно знать, что для этих чисел действует основная теорема арифметики и любое гауссово число, не только вещественное, раскладывается на простые множители. Правда, эти разложения имеют некоторые особенности, из которых можно вывести следующее утверждение:
Если гауссово число a+ib при возведении в степень n становится вещественным, то либо a = 0, либо b = 0, либо a = ±b.
Доказательство я приведу в комментарии, а сейчас сразу перейдём к следствию:
Углы, которые опираются на узлы регулярной квадратной решётки либо кратны 45°, либо несоизмеримы с 360°.
Доказать это утверждение можно, если вспомнить, что любое комплексное число a + b𝑖 можно представить в форме r⋅exp(θ𝑖), где r² = a² + b² и b/a = tg(θ). В такой форме удобно перемножать комплексные числа и возводить в степень. Так, в частности, (a + b𝑖)ⁿ = rⁿ⋅exp(nθ𝑖).
Рассмотрим гауссово число a + b𝑖, образующее с горизонталью (вещественной осью) угол θ = k⋅π/n, где n — натуральное число, а k — целое. Тогда число (a + b𝑖)ⁿ = rⁿ⋅exp(kθ𝑖) = −rⁿ будет вещественным. Это для гауссовых чисел означает, что либо a = 0 и θ = k⋅π/2, либо b = 0 и θ = 0, либо a = ±b и θ = k⋅π/4. Во всех же остальных случаях многократное умножение на a + b𝑖, эквивалентное повороту отрезка (a, b) на угол θ и одновременному увеличению его длины в r раз, никогда не приведёт к вещественному значению, а значит, этот угол несоизмерим с 360°.
Осталось показать, что доказываемое свойство относится не только к углам, отсчитываемым от горизонтальной оси, но справедливо для любого угла, опирающегося на узлы решётки. Это легко продемонстрировать на рисунке, который показывает, что переходя к подрешёткам, и используя приём, которым мы увеличивали енота, легко можно свести любой угол к доказанному случаю.
Таким образом, школьные задачи, подразумевающие внятный ответ, в которых нужно найти углы, опирающиеся на узлы квадратной сетки, скорее всего, имеют решение 45°, 90° или 135°. Либо задача формулируется на поиск тангенса угла.
В сети легко найти множество рекомендаций по построению приближений к углам, кратным 10° или даже 5°. Однако, очень мало где говорится, то это только приближения, причём, удобно работающие только для построения углов, отсчитываемых от горизонтали. Впрочем, для быстрых построений они, действительно, могут быть полезны.
Минутка теории чисел
В теории полей, есть такой термин степень алгебраического числа. Им обозначается минимальная степень многочлена, корнем которого может быть число.
Например, целые и рациональные числа имеют алгебраическую степень, равную единице, потому что они могут быть решением уравнения ax + b = 0 для рациональных коэффициентов a и b. Числа √2, 𝑖 или золотое сечение имеют степень равную двум, потому что являются корнями квадратных уравнений, так же как и гауссовы числа, не являющиеся вещественными. А вот кубический корень, решая квадратное уравнение с рациональными коэффициентами получить не выйдет, тут требуется уравнение третьей степени. Так что ∛2 имеет алгебраическую степень, равную трём.
Методами теории полей можно показать, что алгебраическая степень значений тригонометрических функций от угла вида 2kπ/n зависит от числа n, вернее, от количества чисел, не превышающих n и взаимно с ним простых.
Например, пусть n = 8, 𝛗(8) = 4 (с числом 8 взаимно просты 4 числа: 1, 3, 5 и 7). Значит косинус и синус чисел вида k⋅π/4 должны иметь алгебраическую степень равную 2, а тангенс — единице. Таким образом, значения тангенса от углов, кратных π/4 рациональны, а синусы и косинусы от них могут быть выражены только через квадратные корни. Для других n алгебраическая степень тангенса будет больше единицы, так что простым перебором можно выяснить, что тангенс от рациональной доли окружности может принимать только три рациональных значения 0 и ±1. Также можно показать, что синусы и косинусы могут быть рациональными только, если равны 0, ±1/2 и ±1.
Можно составить исчерпывающий список значений тангенса от углов, соизмеримых с 2π, имеющих алгебраическую степень 2:
По-моему, теория чисел и теория полей — это круто! Здорово иметь возможность не просто вычислять какие-то значения, а ещё до начала вычислений знать, в какой мере эти значения вычислимы.
Именно благодаря таким рассуждениям удалось дать исчерпывающий ответ на давний вопрос: какие задачи можно решить с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя.