Неравенство (№15) в ЕГЭ этого года стало самым спорным заданием. Оно совпадало во всех регионах, но его чересчур строго оценивали. Моя статья о критериях оценки собрала больше сотни комментариев. Я изучила мнения, полистала учебники и собрала разные методы решения неравенства с их обоснованием.
Далее в статье разберу способы решения:
1) Переход к системе неравенств
2) Рассмотрение двух случаев
3) Рационализация
4) Обобщённый метод интервалов
и отдельно скажу пару слов про модуль.
Переход к системе неравенств
Мой любимый метод. После предварительных преобразований получаем произведение, которое должно быть неотрицательно. Значит, либо в произведении плюс умножается на плюс, либо минус на минус. Я бы ещё занудно выделила и рассмотрела отдельно случай, когда один из множителей равен нулю, – в решении ниже этот случай попал сразу в две подсистемы, что нехорошо.
При работе с системой ученик пишет следствие, а не равносильный переход, и подчёркивает это стрелочкой только в одну сторону. В этом переходе теряется ОДЗ, и в конце она учитывается отдельно. Можно было не выделять ОДЗ как отдельную сущность, а загнать условие внутрь системы, и работать равносильными переходами – получилось бы совсем как у взрослых.
Преимущество метода в том, что это обычная школьная программа, доступная всем, без подводных камней и магии, которые мы увидим дальше по тексту.
Недостаток в том, что легко упустить один из случаев. В решениях ниже ученики подумали, что логарифм может быть только неотрицательным.
Рассмотрение двух случаев
Решение разбивается на два случая, аналогично предыдущему. Случаи не записаны в систему, а решаются отдельно. ОДЗ хоть и выписана в начале отдельно, является частью решения, а не навешена в самом конце.
Преимущество в том, что опять используются базовые школьные понятия.
Недостаток я вижу только как преподаватель – здесь используются красивые идеи, которым сложно научить неподготовленного ученика. Нельзя дать это решение как универсальный алгоритм троечнику.
Рационализация
Не люблю метод рационализации за элемент магии. Мне кажется, ученики заучивают его как заклинание и не осознают причин. Заучивание без понимания – всегда плохо: перепутал одну букву в заклинании и решение превратилось в тыкву.
Иван Ященко на вопрос про метод рационализации ответил: «...такого формально метода решения нет, но решение методом равносильных переходов – абсолютно корректное». Действительно, рационализация является равносильным переходом, и использовать метод на ЕГЭ можно, что доказывают многочисленные сканы работ этого года.
Преимущество метода в том, что это – достаточно универсальный алгоритм без подводных камней. Мне кажется, на ЕГЭ 2020 ученики, знакомые с рационализацией, оказались в более выигрышном положении, чем прочие.
Недостаток рационализации, кроме магической составляющей, – его формальное отсутствие в школьной программе. Я сама узнала метод уже после окончания школы, а я училась на физмат потоке в СУНЦ НГУ, одной из лучших школ страны. В прошлые года шла дискуссия, можно ли использовать метод на ЕГЭ вообще, – говорят, применение рационализации каралось нулём баллов как «недостаточно обоснованное решение», и я рекомендовала ученикам не рисковать. Сейчас метод перестал быть экзотикой, – возможно, из-за количества абитуриентов, которых репетиторы научили плохому под соусом «лайфхаков ЕГЭ».
Обобщённый метод интервалов
Тот самый метод, который строго оценивали и который вызвал много споров. В своей предыдущей статье я ругала экспертов и защищала учеников, но сейчас изучила аргументы сторон и затрудняюсь однозначно судить.
Метод интервалов – это алгоритм решения:
1) ищем точки смены знака (нули функции и точки разрыва функции);
2) расставляем точки смены знака на числовой прямой;
3) выясняем знак значения функции в промежутках между точками, обозначаем эти знаки плюсами/минусами на промежутках;
4) выбираем те промежутки, которые нам нужны по условию задачи.
Привожу свои видеоуроки на эту тему:
Часть 1 - линейная функция
Часть 2 - квадратичная функция
Часть 3 - рациональная функция
Часть 4 - дробно-рациональная функция
Часть 5 - практика
Метод базируется на монотонности и непрерывности функций. В случае дробно-рациональных функций нет никаких проблем. Но вдруг в условии возникает логарифм! В голову приходит ошибочная идея: логарифм – тоже непрерывная функция, как какая-нибудь парабола, а значит, и работать с ним можно по тому же алгоритму. Но стойте, логарифмические уравнения мы начинаем с ОДЗ, так что и тут напишем ОДЗ, а потом пересечём с ответом.
Я обратилась за консультацией к Татьяне Ивановне Тимкиной – преподавателю предмета «Методика обучения и воспитания (математика)» в новосибирском педагогическом университете. Далее привожу цитаты из ответа.
Из этой теории следует суть метода интервалов: «Нули функции разбивают область определения на промежутки, в каждом из которых функция сохраняет постоянный знак», т.е. надо: 1) На числовую ось нанести область определения, 2) На области определения отметить нули функции, 3) Найти знак функции на каждом промежутке, 4) Выбрать нужные промежутки.
Применительно к заданию из ЕГЭ:
Рассмотрим решение логарифмического неравенства №15 со страницы Али П.
Сразу бросается в глаза, что ученик решает по другому алгоритму. Он сначала наносит на числовую ось нули функции, находит значение функции на получившихся промежутках и выбирает нужные. А потом находит пересечение промежутков нужного знака с ОДЗ.
Этот алгоритм в общем случае может привести к ошибкам. Я привожу пример ошибочного решения, которое выполнено по этому алгоритму.
По моему мнению, баллы снижены за то, что ученик не понимает суть метода интервалов.
От себя добавлю, что в ошибочном примере выше, как и в любом дробно-рациональном неравенстве, анализ ОДЗ избыточен: то, что x ненулевой, можно было обозначить на числовой прямой в виде выколотой точки, и не писать ОДЗ как явление. Поэтому мне кажется, что при применении метода интервалов – хоть обычного, хоть обобщённого – не должно быть записи ОДЗ отдельно, она должна быть неотрывной частью решения.
Лирическое отступление. Ещё один камень в огород адептов ОДЗ. Как они меня донимают, вы бы знали. Взрослый серьёзный человек может начать писать оскорбления в личку за то, что я на видео решаю уравнения равносильными переходами и не пишу три священные буквы.
В комментариях к прошлой статье утверждали, что некоторым ученикам за ошибку в ОМИ баллы всё-таки повысили после апелляции, а некоторым нет. Надеюсь, что это не так, всех должны оценивать по одинаковым критериям.
Преподаватель Ольга Крылова в комментариях высказалась, что требуемый метод оформления не встретить ни в одном учебнике. Она приводит единственный найденный источник, в котором освещена подобная проблема.
Преимущество в том, что любой школьник, претендующий на решение задачи 15, хорошо знаком с методом интервалов. Уже знакомый метод легче обобщить для новых функций, чем научиться новому методу.
Недостаток – высока вероятность ошибиться в оформлении и даже не заметить. Если рассказывать метод ученикам, то акцентировать внимание на оформлении, демонстрировать примеры ошибок.
Пара слов про модуль
Многие заметили, что ученики выносят квадрат из логарифма и не пишут модуль в логарифмируемом выражении.
В отрыве от контекста это могло бы быть ошибкой, или привести к ошибке. Но в этом задании тот факт, что (x+5) положительно, очевиден из решения, и нельзя говорить, что ученик его не учёл.
При проверке трактуем запись в пользу ученика: считаем, что он знал про модуль, но раскрыл его устно на ОДЗ. За отсутствие модуля баллы точно не снижали. (Да, скорее всего ученики традиционно забыли про модуль, но мы не можем это гарантировать, а значит не придираемся).
Что ещё почитать:
Обзор заданий новосибирского варианта
Несправедливый ЕГЭ. Как отличались варианты регионов
Обидные ошибки умных учеников (алгебра)
Обидные ошибки умных учеников (геометрия)
Начать готовиться к ЕГЭ 2021 можно на моём онлайн-курсе.
Подписывайтесь, если вам интересна аналитика ЕГЭ.
