Возьмем произвольное электростатическое поле и проведем в нем близкие эквипотенциальные поверхности: φ и φ + dφ.
В точке В проведем нормаль n к эквипотенциальной поверхности φ в сторону возрастания потенциала. Точку пересечения нормали с поверхностью φ + dφ обозначим С. Расстояние ВС = dn.
Работа, по перемещению заряда q, из точки с потенциалом φ в точку с потенциалом φ + dφ вдоль нормали (т.е. вдоль линии напряженности поля) равна:
dA = q[φ – (φ + dφ)] = - qdφ
или dA = qEdn
Отсюда: E = - dφ/dn
или в векторной форме:
или E = -∇φ .
Градиент (grad) – это вектор, показывающий величину и направление наибольшего роста скалярной функции.
Оператор набла ∇ следует рассматривать как своего рода вектор.
Знак минус в равенстве означает то, что вектор напряженности электростатического поля Е направлен противоположно градиенту потенциала, т. е. в сторону уменьшения потенциала поля.
