Условие:
Из колоды в 52 карты (4 масти по 13 в каждой) наудачу выбирают четыре карты. Найти вероятность, что среди них окажется хотя бы два туза или хотя бы две двойки.
Данная задача взята из открытого источника https://nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tests/k1tv-ef17.pdf . ЭФ НГУ, экономика, первая потоковая контрольная работа по теории вероятностей 2017 г.
Решение:
Начнем с определения числа элементарных исходов. Сколько всего комбинаций из 4 карт мы можем получить? Из условий понятно, что карты выбираются без возвращения, а комбинации (туз пик, король треф, дама червей, 7 пик) и (король треф, дама червей, 7 пик, туз пик) для нас считаются абсолютно одинаковыми, то есть порядок карт нас не интересует.
Получается, что для подсчета количества возможных комбинаций, нам нужно использовать следующую "урновую схему": без возвращения и без учета порядка.
Теперь опишем благоприятное для нас событие.
A = (хотя бы два туза или хотя бы две двойки)
A = ((2 туза + 2 любых) или (3 туза + 1 любая) или (4 туза) или (2 двойки + 2 любых) или (3 двойки + 1 любая) или (4 двойки)). Если переобозначить каждое из событий буквами B, C, D, E, F, G соответственно, то мы получим следующую запись:
Как теперь найти вероятность A? Вероятность объединения ищется по формуле включения-исключения. Сама формула выглядит довольно громоздко:
Нам необходимо вычислить вероятности всевозможных пересечений событий, что для задачи с 6 событиями будет очень трудоемко. Но можно заметить, что почти все события являются несовместными! И правда, как одновременно могут произойти, например, события B и G? Невозможно одновременно вытянуть (2 туза + 2 любых) и (4 двойки). А что уже говорить про пересечение сразу 3, 4, 5, 6 событий, все они несовместны, а значит вероятность их пересечения равна 0. За исключением событий B и E: (2 туза + 2 любых) и (2 двойки + 2 любых). Эти события имеют пересечение (2 туза + 2 двойки). Соответственно, вероятность события A, можно найти по следующей формуле:
Вероятность каждого отдельного слагаемого будем искать по классическому определению вероятности.
Аналогично рассчитаем остальные вероятности:
Также посчитаем вероятность пересечения событий B и E.
А значит искомая вероятность равна:
Для тех кто любит досчитывать все до конца, воспользуемся определением числа сочетаний:
Читайте также другие статьи посвященные данной тематике. https://zen.yandex.ru/id/5e57a99a23af6e788c224cd8
