Начать с азов
Аз – старое название первой буквы алфавита (вы же помните, что каждая буква в кириллице имела своё название). Соответственно, начать с азов - значит "начать с самого начала". Близкое значение имеет и выражение азы науки.
Ходить фертом
Буква Ф, имевшая в кириллице название "ферт", напоминает человека, стоящего "руки в боки". Поэтому про самодовольного человека, гордеца и говорили "ходит фертом".
Писать мыслете
Буква М имела раньше очень мудрёное написание. За это и попала в "пьяный" фразеологизм - про идущего по дороге пьяницу говорили: "Ногами мыслете выписывает".
Ставить покоем
Значение фразеологизма станет понятно, если знать, что значение "покой" имела буква П. Сейчас говорят: "Поставим столы буквой П", но иногда употребляют и старый вариант: "Поставим столы покоем".
Дать добро
Вы, наверное, думали, что это выражение связано со словом "добро" (добрый, доброта)? А вот и нет! Здесь опять остались следы старой русской буквы. Ведь по логике "дать добро" - это "разрешить", а не "проявить участие к кому-либо". Причём же здесь доброта?
И правда, выражение никак не связано с добротой, а связано с... флотом. В сигнальной морской азбуке букве Д (по старому "добро") соответствовал жёлтый флажок, имевший значение: "Да, согласен, разрешаю”.
Прописать ижицу
А это выражение напоминает нам о тех временах, когда для воспитания молодого поколения использовались розги, которые выписывали на мягком месте воспитуемого фигуру, похожую на эту букву, раньше довольно редкую, а теперь и вовсе исчезнувшую из алфавита. Розгами теперь уже никого не пугают, но выражение "прописать ижицу" осталось со значением "наказать".