Проверка доказательств очень сложных математических задач возможна с бесконечной квантовой запутанностью
Давняя загадка, почему чистая математика может так много рассказать о природе физического мира.
Антивещество было обнаружено в уравнениях Пола Дирака прежде, чем быть обнаруженным в космических лучах. Кварки появились в символах, нарисованных на салфетке Мюрреем Гелл-Манном за несколько лет до того, как они были подтверждены экспериментально. Уравнения Эйнштейна для гравитации предполагают, что вселенная расширяется за десятилетие до того, как Эдвин Хаббл предоставил доказательства. Математика Эйнштейна также предсказывала гравитационные волны за целое столетие до того, как аппараты Бегемотов обнаружили эти волны (которые были вызваны столкновениями черных дыр - также впервые выведенных из математики Эйнштейна).
Нобелевский лауреат по физике Юджин Вигнер сослался на таинственную силу математики как на «необоснованную эффективность математики в естествознании». Каким-то образом, сказал Вигнер, математика, разработанная для объяснения известных явлений, содержит подсказки к явлениям, еще не испытанным - математика дает больше, чем было положено. «Огромная полезность математики в естественных науках граничит с таинственным и ... нет рациональное объяснение этому », - написал Вигнер в 1960 году.
Но, может быть, есть новый ключ к тому, что это объяснение может быть. Возможно, особая способность математики описывать физический мир как-то связана с тем фактом, что физический мир также может что-то сказать о математике.Проверка доказательств очень сложных математических задач возможна с бесконечной квантовой запутанностью
По крайней мере, это является возможным выводом новой статьи, которая поразила взаимосвязанные миры математики, информатики и квантовой физики.
Ученый-компьютерщик Чжэнфэн Цзи и его коллеги из чрезвычайно сложной 165-страничной статьи представляют результат, который проникает в суть глубоких вопросов о математике, вычислительной технике и их связи с реальностью. Речь идет о процедуре проверки решений очень сложных математических предложений, даже тех, которые, как полагают, невозможно решить. По сути, новая находка сводится к демонстрации огромного разрыва между бесконечным и почти бесконечным, что имеет огромное значение для некоторых громких математических задач. Оказывается, чтобы заглянуть в эту пропасть, требуется таинственная сила квантовой физики.
Все участники давно знают, что некоторые математические задачи слишком трудно решить (по крайней мере, без ограничения времени), но предлагаемое решение может быть довольно легко проверено. Предположим, кто-то утверждает, что имеет ответ на такую очень сложную проблему. Их доказательство слишком длинное, чтобы проверять построчно. Можете ли вы проверить ответ, просто задав этому человеку («проверяющему») несколько вопросов? Иногда да. Но для очень сложных доказательств, вероятно, нет. Однако, если есть два доказателя, оба из которых обладают доказательством, то задавая каждому из них несколько вопросов, вы можете убедиться, что доказательство верно (по крайней мере, с очень высокой вероятностью). Однако здесь есть одна загвоздка - проверяющие должны храниться отдельно, чтобы они не могли общаться и, следовательно, сговорились о том, как ответить на ваши вопросы. (Этот подход называется MIP, для многопроцессорного интерактивного доказательства.)
Проверять доказательства, не видя их на самом деле, не так уж странно. Существует множество примеров того, как проверяющий может убедить вас в том, что он знает ответ на задачу, фактически не сказав вам ответ. Например, стандартный метод кодирования секретных сообщений основан на использовании очень большого числа (возможно, сотни цифр) для кодирования сообщения. Его может декодировать только тот, кто знает основные факторы, которые при умножении дают очень большое число. Невозможно понять эти простые числа (в течение жизни вселенной) даже с армией суперкомпьютеров. Поэтому, если кто-то может расшифровать ваше сообщение, он доказал вам, что знает простые числа, без необходимости сообщать вам, что они собой представляют.
Когда-нибудь, однако, вычисление этих простых чисел может быть осуществимо с помощью квантового компьютера будущего поколения. Современные квантовые компьютеры являются относительно элементарными, но, в принципе, продвинутая модель может взломать коды, вычислив основные факторы для чрезвычайно больших чисел.
Эта сила проистекает, по крайней мере частично, из странного явления, известного как квантовое запутывание. И оказывается, что, аналогично, квантовая запутанность повышает мощность MIP-пруверов. Распределяя бесконечное количество квантовой запутанности, доказатели MIP могут проверять значительно более сложные доказательства, чем не-квантовые доказатели MIP.
Обязательно говорить, что запутанность - это то, что Эйнштейн назвал «жутким действием на расстоянии». Но это не действие на расстоянии, и это просто кажется жутким. Квантовые частицы (скажем, фотоны, частицы света) от общего происхождения (скажем, оба извергаются одним атомом) имеют общую квантовую связь, которая связывает результаты определенных измерений, выполненных на частицах, даже если они находятся далеко друг от друга. Это может быть таинственным, но это не волшебство. Это физика.
Скажем, два прувера разделяют запас запутанных фотонных пар. Они могут убедить верификатора, что у них есть веское доказательство некоторых проблем. Но для большой категории чрезвычайно сложных задач этот метод работает, только если запас таких запутанных частиц бесконечен. Большое количество запутывания недостаточно. Это должно быть буквально неограниченным. Огромное, но конечное количество запутанности не может даже приблизиться к силе бесконечного количества запутанности.
Как объясняет Эмили Коновер в своем докладе для Science News , это открытие подтверждает ложность пары широко распространенных математических гипотез. Один из них, известный как проблема Цирельсона, специально предположил, что достаточное количество запутанности может приблизиться к тому, что вы можете сделать с бесконечным количеством. Задача Цирельсона была математически эквивалентна другой открытой проблеме, известной как гипотеза вложения Конна, которая имеет отношение к алгебре операторов, видам математических выражений, которые используются в квантовой механике для представления величин, которые можно наблюдать.
Опровержение гипотезы Конна и показ того, что MIP плюс запутанность можно использовать для проверки чрезвычайно сложных доказательств, ошеломило многих в математическом сообществе. (Услышав эту новость, один эксперт сравнил свои фекалии с кирпичами.) Но новая работа вряд ли окажет непосредственное влияние на повседневную жизнь. С одной стороны, всезнающих пруверов не существует, и если бы они это сделали, они, вероятно, были бы будущими квантовыми компьютерами с супер-ИИ с неограниченными вычислительными возможностями (не говоря уже о непостижимом источнике энергии). Никто не знает, как это сделать, даже в век Star Trek .
Тем не менее, погоня за этим открытием вполне может привести к более глубоким последствиям для математики, информатики и квантовой физики.
Это, вероятно, не проливает свет на противоречия по поводу лучшего способа интерпретации квантовой механики, как отмечает в своем блоге теоретик информатики Скотт Ааронсон о новом открытии . Но, возможно, это могло бы дать какие-то подсказки относительно природы бесконечности. Это может быть полезно для чего-то, возможно, для освещения того, играет ли бесконечность значимую роль в реальности или является просто математической идеализацией.
На другом уровне новая работа поднимает интересный вопрос об отношениях между математикой и физическим миром. Существование квантовой запутанности, (удивительного) физического явления, каким-то образом позволяет математикам решать задачи, которые кажутся строго математическими. Интересно, почему физика помогает математике, может быть так же интересно, как созерцать необоснованную эффективность математики в помощи физике. Может быть, даже один когда-нибудь объяснит другой.
