Вы когда-нибудь задумывались откуда взялось число e? Это основание натурального логарифма, равное 2,7182818284590452353602874713527… . В математике такое бесконечное число называют иррациональным, причём не периодическое и оно лежит на вещественной числовой оси.
Но почему это на первый взгляд случайное число, так интенсивно используется в физике, химии и вообще в науке? Такое впечатление, что это число таит в себе какую-то внутреннюю природу, будто всевышний заложил в природе и физике вещей это невероятно поразительное и в тоже самое время странное число e.
Для того, чтобы разобраться в природе числа e, необходимо всё же провести краткий экскурс в математику, но только я постараюсь изложить материал своими словами. Естественно я пользовался источником, ничего сам не придумывал (если Вам интересны подробности, можете обратиться к замечательной математической книге В.Г. Шерватов "Гиперболические функции"). Но подчеркну ещё раз, постараюсь кратко изложить своими словами объяснение происхождения числа e, на мой взгляд самое доходчивое и доступное даже для старшеклассника в школе.
Итак, рассмотрим всем хорошо известную со школы единичную гиперболу, уравнение которой xy = 1 (см. рис. 1).
Пусть координаты точек P, Q, P` и Q` будут x1, x2, x1` и x2` соответственно. Докажем что площадь криволинейной трапеции PQNM зависит только от отношения x2 / x1. То есть, если мы докажем что
тогда площади двух криволинейных трапеций PQNM и P`Q`N`M` равны, то тем самым мы докажем что площадь любой криволинейной трапеции зависит только от отношения x2/x1.
В математике существует такое понятие, как "гиперболический поворот". Это когда мы производим сначала сжатие к оси x на коэффициент сжатия k, затем производим второе сжатие (преобразование) к оси y, но теперь на коэффициент сжатия 1/k (см. рис. 2)
Таким образом при таком двойном последовательном преобразовании гипербола переходит в саму себя, только все точки гиперболы как бы "поворачиваются". Действительно, при первом сжатии к оси x на коэффициент сжатия k, точка M переходит в точку M1, а при втором сжатии на коэффициент сжатия 1/k от оси y мы переходим в точку M` (см. рис. 2). Таким образом точка M "скатилась" по гиперболе вниз в точку M`.
Одно из свойств гиперболического поворота, которое нам далее понадобится, это то, что при гиперболическом повороте площади фигур (например криволинейных трапеций) сохраняются и равны друг другу.
В свете этого свойства давайте вернёмся к нашей первой единичной гиперболе и произведём гиперболический поворот, который переводит MP в M`P` (см. рис. 1). Но ещё и отрезок NQ перейдёт в отрезок N`Q` из ещё одного свойства гиперболического поворота (отношение координат точек на гиперболе сохраняется). А стало быть справедлива формула 1.1. Согласно свойству гиперболического поворота, что площади фигур сохраняются, делаем вывод что площадь PQNM равна площади P`Q`N`M`.
Таким образом мы простыми рассуждениями показали, что площадь криволинейной трапеции зависит лишь от отношения x2/x1 = z. Следовательно площадь есть некоторая функция зависящая от z
Эта функция есть возрастающая и непрерывной, что видно из геометрического смысла. Естественно считать, что S(1) = 0 (трапеция вырождается в отрезок). Существует такое число z > 1, что S(z) = 1. Обозначим это число как e и попробуем его отыскать.
Найдём формулу для нашей функции S(z), но прежде всего докажем утверждение:
Действительно, S(z1) есть площадь криволинейной трапеции KP1M1A, где OK = 1, OP1 = z1 (см. рис. 3)
А S(z2) есть площадь криволинейной трапеции KP2M2A, где OP2 = z2. Но площадь последней трапеции равна площади P1QNM1 по доказанному выше свойству гиперболического поворота. Причём OQ = z1 * z2, так как
Отсюда следует:
Воспользовавшись полученным соотношением, можно показать, что для всякого положительного числа альфа справедлива формула:
Доказательство этой формулы предоставляем читателю в качестве разминки для мозга (пользуйтесь формулой 1.3).
Из курса школьной математики очевидно, что
Отсюда в силу формулы 1.4 следует:
Здесь S(e) = 1 по определению числа e, которое мы ввели выше. Таким образом из геометрических соображений мы неожиданно пришли к логарифмам, причём по основанию числа e, которое предстоит оценить.
Итак давайте запомним следующее важное соотношение:
Оценим значение числа e из следующих соображений (см. рис. 4)
Площадь S(2) криволинейной трапеции KPMA меньше чем прямоугольника KPM(с подчёркиванием)A, равного KP * KA = 1 * 1 = 1. Таким образом S(2) < 1. С другой стороны площадь S(3) криволинейной трапеции KQNA больше площади трапеции KQN(с подчёркиванием)A(с подчёркиванием) равной:
Таким образом S(3) > 1. Резюмируя вышеизложенное, получаем неравенство:
Или переходя к числу e, получаем неравенство:
Далее, оценим число e ещё более точнее, для этого рассмотрим криволинейную трапецию KPMA (см. рис. 5)
Пусть OK = 1, а OP равно
Тогда площадь этой криволинейной трапеции, согласно формуле 1.5 равна
Которое заключается между прямоугольниками:
Или , что тоже самое , между
И
Итак, получаем неравенство:
Отсюда получаем:
Перепишем эти два неравенства одной записью, получаем:
Откуда следует, что
При устремлении n к бесконечности:
Отношение,
стремится к единице. Отсюда следует, что
Это и есть математическое определение числа e. Аналогичными выкладками, которые были показаны выше, можно доказать, что
Некоторые выводы.
Итак, каким же образом чисто математически выведенная формула связана практически со всеми науками?
Оказывается, что большинство законов физики, например, статистически стремится к экспоненциальному закону, в связи с тем, что многие процессы описываются теорией вероятностью и несут вероятностный характер. Взять, к примеру, молекулярную физику. Как известно в 1 кубическом сантиметре идеального газа находится неимоверное количество молекул этого газа (вспомните величину числа Авогадро), около 10 в 19 степени. Поэтому не представляется возможным описать характер движения (скорость, положение, импульс и так далее) каждой молекулы в отдельности. Даже суперкомпьютер не справится с такой непосильной задачей.
Поэтому учёные не описывают каждую молекулу в отдельности, а рассматривают совокупность молекул или атомов (это же относится и к элементарным заряженным/нейтральным частицам, только они описываются квантовой статистической физикой), так называемый ансамбль. Оказывается, ансамбли подчиняются законам теории вероятности и статистической физики. Но как же без законов комбинаторики в теории вероятностей? Я не стану сейчас рассказывать долго и нудно о распределении Бернулли или о каноническом распределении, но скажу здесь лишь одно - все теоретические рассуждения и выкладки приводят так или иначе к формулам 1.6 и 1.7, точнее не к самим точным формулам определения числа e, а из многоэтажных соотношений можно выделить формулы 1.6 или 1.7, устремляя число молекул к бесконечности (мы не сильно ошибёмся, если так сделаем, ведь как мы выяснили выше, количество молекул в единице объема неимоверно огромное, поэтому устремляя n к бесконечности, мы получим даже точные распределения).
Более того, скажу, что не только теоретические рассуждения и умозаключения приводят к законам экспоненциального вида, но и эксперименты и опыты показывают (диффузия, физика полупроводников и так далее), что природа многих процессов и явлений действительно подчиняется числу e, а если быть точнее степенной функции
P.S. На этом я заканчиваю статью. В дальнейшем планирую написать ещё несколько статей на интересующие Вас темы. Пожалуйста, оставляйте свои комментарии к этой статье, делитесь своими знаниями и не забывайте, какую бы тему Вы хотели почитать.
