В Польше с 15-го по 19-ое ноября проходило традиционное осеннее командное соревнование по математике Baltic Way. Участникам предлагалось решить двадцать задач, пять из которых были по геометрии. Мне приглянулись две из них. Сегодня начну с задачи номер 13.
Как и всегда, если вам надо доказывать перпендикулярность двух прямых, есть несколько традиционных способов решения. Давайте я перечислю основные, хотя разговору про перпендикулярность следовало бы посвятить отдельный текст.
1. Основной способ доказать, что угол прямой — посчитать углы. Он, к сожалению, работает не часто, поскольку составители задач зорко следят за возможностью такого решения.
2. Второй способ основан на использовании теоремы Пифагора. При этом можно использовать ее напрямую, а можно и в следующем очень удобном варианте: диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны. При этом абсолютно не важна выпуклость исходного четырехугольника.
3. Третий способ опирается на то, что высоты треугольника пересекаются в одной точке, поэтому иногда полезно попытаться доказать, что какая-то точка является ортоцентром какого-то треугольника. Хорошим примером, кстати, служит вот эта задача.
4. Четвертый способ опирается на факт, что радикальная ось двух окружностей перпендикулярна линии их центров. Кто-то скажет, что это то же самое, что и теорема Пифагора, но иногда увидеть окружности проще, чем найти заветные соотношения между отрезками.
5. Пятый способ состоит в том, чтобы доказать равенство нулю скалярного произведения каких-нибудь векторов. Равенство нулю скалярного произведения равносильно перпендикулярности ненулевых векторов.
6. Шестой способ основан на следующем наблюдении. Пусть есть треугольник ABC и вы хотите проверить, что некий отрезок перпендикулярен BC. Для этого достаточно проверить, что проекции соответствующего направленного отрезка на прямые AB и AC обратно пропорциональны сторонам AB и AC, поскольку именно так устроены проекции высоты треугольника.
7. Если вы решили считать задачу в прямоугольных декартовых координатах, то перпендикулярность двух прямых равносильна тому, что их угловые коэффициенты в произведении дают –1.
8. Ну и наконец, в комплексных числах перпендикулярность двух векторов равносильна тому, что отношение соответствующих им комплексных чисел является чисто мнимым.
Перейдем к решениям задачи.
