На пикнике Корней, Матвей и Пантелей размечают площадку для бадминтона на поляне. Прямую линию провести легко, — достаточно натянуть веревку. А как построить прямой угол? Корней с Матвеем знакомы с историей математики и знают, как это делали египтяне в древности.
У них был специальный инструмент: веревочное кольцо с узелками, которые делят его на 12 равных частей. Чтобы получить прямой угол на местности, кольцо растягивали на земле в треугольник со сторонами 3, 4, 5. Он прямоугольный, это следует из теоремы Пифагора.
Можно было бы взять другие стороны, например 5, 12, 13 или 7, 24, 25. Тройки целых чисел, подходящих для такого инструмента, так и называются пифагоровыми тройками. Они были известны задолго до Пифагора. Таблицы с такими тройками найдены даже на вавилонских клинописных табличках. Некоторые из них довольно большие, например 3456, 3367, 4825. На такую тройку нельзя набрести случайно. Чтобы ее получить, надо построить теорию, правило получения пифагоровых троек.
Такое правило было известно уже Евклиду: если m и n – натуральные, то m²-n², 2mn, m²+n² – пифагорова тройка.
Задачу про пифагоровы тройки можно сформулировать так: описать все прямоугольники с целыми сторонами, у которых диагонали тоже целые. Каждый такой прямоугольник составлен из двух пифагоровых треугольников. В чем смысл такой переформулировки задачи? А в том, что немедленно появляется обобщение. Выйдем за рамки плоского мышления.
В следующие выходные Корней, Матвей и Пантелей собираются играть не в бадминтон, а в квиддич. По новым правилам они играют в ограниченном поле – в объемном параллелепипеде. Смогут ли они подобрать такие размеры "поля", чтобы все его стороны и диагонали граней были целыми?
Теорию целочисленных кирпичей пытался построить Эйлер, но преуспел лишь отчасти. Он построил формулы, которые описывают некоторые целочисленные кирпичи, но не все. В теории эйлеровых кирпичей мы примерно в том же положении, что вавилоняне в теории пифагоровых троек: мы умеем находить довольно сложные решения. Но пока еще не дошли до глубины Евклида – до сих пор не умеем описывать все решения.
Где-то в самой населенной части страны математики, не в глухих дебрях, а там, где давным-давно исхожены все тропы и проложены широкие магистрали, осталась неприступная твердыня в форме кирпича. Никто не может взять эту крепость.
Говорят, что рядом стоит еще одна – в форме кирпича, у которого целые не только ребра и диагонали граней, но и главная диагональ тоже. А некоторые думают, что такого кирпича не существует, и вторая твердыня – только мираж. Никто не знает наверняка, существует ли второй кирпич – это еще одна нерешенная задача в математике.