Математика — наука содержащая в себе колоссальный объём знаний, который с каждым днем становиться всё больше. Но есть такая часть этого знания, которая продолжает сохранять своё непоколебимое состояние, ею являются простые числа. Почему это так? Ответ найдете ниже...
Для начала, ответим на вопрос: что такое простые числа? Вспомним школьную пору, когда мы ходили в 1-4 классы. На уроках математики нас знакомили с натуральными числами и говорили, что они нужны для счета чего-либо. Через некоторое время, учителя познакомили нас с операцией деления натуральных чисел, и в какие-то моменты, при решении задач на деление, попадались такие числа, которые делились только на себя или на 1 и такие числа, учителя говорил, называются простыми числами. Такое понимание простых чисел является довольно точным, так как в математике определение простых чисел следующее:
Простое число — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя.
Математическое определение(через математические символы и знаки): число p(от англ. prime number — простое число) называется простым, если выполняется следующее условие:
Это определение можно перевести на обычный язык так... Найдется(заменяется знаком "∃"(называется — квантор существования), также имеет значения: "существует, бывает и другие синонимичные слова") такое число p, которое является натуральным и большим одного, что имеет место система(знак открывающей фигурной скобки, под которой записаны некоторые математические выражения, между которыми выполняется логическая связка "И"), в которой p кратно(делится нацело) 1 и p кратно p и p не кратно такому n, которое натурально и отлично(неравно) от p и 1.
Интерес к таким числам был вызван ещё задолго до нашей эры: приблизительно Верхний палеолит( 40—12 тыс. лет назад), этим периодом датируется "Кость Ишанго". По мнению ученых эта кость служила арифметическим инструментом для подсчетов.
Но более детально изучением простых чисел занялись древние греки. Этот период связан с книгой Евклида — "Начала". В неё он внес доказательство бесконечности простых чисел, лемму Евклида и основную теорему арифметики. Также в Др. Греции было придумано решето Эратосфена — алгоритм позволяющий найти все простые числа до заданного n-го числа.
Остановимся на доказательстве Евклида о бесконечности простых чисел.
Но сначала нам понадобится основная теорема арифметики(далее — ОТА), которая утверждает следующее...
Каждое натуральное число n>1 можно представить в виде n=p1*p2*p3*...*pk, где pk — простое k-ое число, причём такое представление единственно, если не учитывать порядок следования множителей.
То есть, эта теорема утверждает, что любое натуральное число, отличное от простого, можно представить в виде произведения некоторого числа простых чисел. Сейчас вы поймете, зачем она нам нужна.
Перейдем к доказательству теоремы Евклида, а иначе к доказательству Евклида о бесконечности простых чисел.
Предположим, что существует конечное число простых чисел, тогда перемножив их получим: p1*p2*p3*...*pn=P, где pn — n-ое простое число из списка всех простых чисел. Допустим теперь, что есть некоторое число k, которое равно k=P+1. В таком случае получается два варианта развития событий:
• либо число k простое число, не вошедшее в исходный список простых чисел(и тогда простых чисел бесконечное множество в силу того, что этот список может быть бесконечным);
• либо число k составное(сложное) число. Но тогда по ОТА числа k и P будут кратны одному из p, которое входит в изначальный список простых чисел. Но если P и k кратно p, то и разность k—P, будет кратна p, но k—P=1, а 1 не простое число, не составное, то есть по ОТА его нельзя разложить на какое-либо простое число. Поэтому число p не может находиться в списке изначальных простых чисел. В итоге, должно существовать ещё одно простое число, не вошедшее в список. Иными словами, мы получили такое число, которое не соответствует ОТА, а это противоречие.
Доказательство бесконечного множества простых чисел стало крупным достижением в изучении простых чисел.
Правда на этом дело остановилось вплоть до XVII века. Когда в 1640 году Пьер де Ферма сформулировал (без доказательства) малую теорему Ферма и теорему о сумме двух квадратов. Ферма также высказал предположение, что все числа вида
— простые (они были названы числами Ферма) и доказал это до n = 4 . Однако Эйлер показал, что уже следующее число Ферма при n = 5 является составным (делится на число 641). На сегодняшний день нет других известных чисел Ферма, являющихся простыми.
Крупных достижений в этой области достиг швейцарский, немецкий и российский математик Леонард Эйлер. Так, он показал, что ряд
является расходящимся(сумма стремится к бесконечности). В переписке Эйлера с Христианом Гольдбахом последний сформулировал знаменитую гипотезу Гольдбаха о представлении любого чётного числа, начиная с 4, в виде суммы двух простых, которая до сих пор не доказана.
С начала XIX века внимание многих математиков обратилось к изучению асимптотического распределения простых чисел. Лежандр и Гаусс независимо друг от друга высказали предположение, что плотность(густота их взаимного расположения) простых чисел в среднем близка к величине, обратно пропорциональной натуральному логарифму.
На этом каких-либо иных достижений в области простых чисел сделано не было. До сих пор математики не знают: задается ли последовательность простых чисел или нет?
На сегодняшний момент простые числа получили большое применение в области криптографии. То есть на основе простых чисел создаются специальные алгоритмы шифрования. Самым первым стал алгоритм RSA, который основывался на вычислительной сложности разложения большого натурального числа на простые множители.
Самым большим из найденных на 2019 год простых чисел является число 2^82 589 933 − 1. За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США.
Надеемся, что теперь Вы узнали больше нового об этих простых, но на самом деле, "сложных" числах.
Оцените эту статью 👍(если вам понравилось) или 👎, если вам не понравилось. Поделитесь ею с друзьями! И как всегда: будьте в курсе точных наук!