В 5 классе учащиеся должны освоить решение задач обратным ходом, то есть с конца. Этот приём позволяет закрепить взаимосвязь операций, его часто используют при решении составных задач, для решения которых надо использовать и другие способы. Начнём с подготовительной задачи.
Задача 1. В автобусе едут 25 пассажиров. На первой остановке вышли два, вошли пять пассажиров. Сколько пассажиров едет в автобусе после первой остановки?
Решение. Выполним схематический рисунок, подсказывающий порядок вычислений.
Ответ. 28 пассажиров.
Задача 2. В автобусе едут несколько пассажиров. На первой остановке вышли два, вошли пять пассажиров, стало 25 пассажиров. Сколько пассажиров ехало в автобусе до первой остановки?
Решение. Выполним схематический рисунок. После того, как вошли 5 пассажиров, их стало 25, значит, до этого их было 25 – 5 = 20. Дальше заполняем пустые клетки.
Ответ. 22 пассажира.
Задача 3. На двух полках стояло 30 книг. Когда с первой полки на вторую переставили 4 книги, то книг стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?
Решение. Начнём с конца.
1) 30 : 2 = 15 (книг) — стало на каждой полке после перестановки 4-х книг.
Вернём 4 книги на первую полку.
2) 15 + 4 = 19 (книг) — было на первой полке первоначально,
3) 15 – 4 = 11 (книг) — было на второй полке первоначально.
Ответ. 19 и 11 книг.
Замечание. Чтобы уравнять количество книг, с первой полки на вторую переставили половину разности, т. е. (19 – 11) : 2 = 4 книги.
Рассмотрим задачу из ВПР для 5 класса.
Задача 4. На двух полках стояли книги — на первой полке в два раза больше, чем на второй. Когда с первой полки на вторую переставили две книги, то книг на полках стало поровну. Сколько книг стояло на каждой полке первоначально?
Решение. Пусть число книг на второй полке составляет 1 часть, а на первой — 2 части (рис. слева). Чтобы уравнять число книг, надо половину одной части переставить на вторую полку (рис. справа), т. е. две переставленные книги составляют половину одной части.
1) 2 * 2 = 4 (книги) — приходится на 1 часть, стояло книг на второй полке первоначально,
2) 4 * 2 = 8 (книг) — стояло на первой полке первоначально.
Ответ. 8 книг и 4 книги.
В заключение разберём решение задачи из казахстанского итогового экзамена «Математическая грамотность», аналога нашего ЕГЭ базового уровня. Преподаватель, обучавший казахстанских выпускников в Ютубе, дал неполное решение этой задачи при помощи уравнения. Приведём арифметическое решение этой задачи. Для начала тоже неполное.
Задача 5. В двух карманах было 150 монет. Затем семнадцать монет были перемещены из одного кармана в другой. В результате количество монет во втором кармане стало в 2 раза больше, чем в первом. Сколько монет было в первом кармане первоначально?
Решение. Определим, сколько монет стало в первом кармане после их перекладывания, для этого решим «задачу на части». Пусть новое число
монет в первом кармане составляет 1 часть, тогда во втором кармане – 2 части.
1) 1 + 2 = 3 (части) — приходится на 150 монет;
2) 150 : 3 = 50 (монет) — стало в первом кармане;
3) 50 + 17 = 67 (монет) — было в первом кармане первоначально.
В чём же неполнота решения? Дело в том, что условие задачи «из одного кармана в другой» может означать как «из первого кармана во второй», так и «из второго кармана во первый». Второй случай приводит к ответу: 33 монеты.
Ответ. 67 монет или 33 монеты.