Я часто говорю о том, что при изучении математики ничего не надо запоминать. Конечно, это небольшое преувеличение. Кое-что запоминать нужно. В первую очередь надо запомнить три картинки, и знать их как «Отче наш». Нарисуйте их на трех листочках и носите с собой, пока не запомните. На этих трех картинках будут изображены три треугольника — на каждой один.
Сегодня поговорим о первом, самом древнем, знаменитом и полезном в практической жизни. Это «Египетский» треугольник. Он позволяет строить прямые углы, имея под рукой только веревку. Для этого нужно отмерить на веревке узлами 13 равных частей, а затем сложить ее в виде треугольника, как показано на картинке.
Египтяне задолго до Пифагора знали, что этот треугольник прямоугольный, и использовали его для разметки участков на плодородной Нильской земле. А размечать приходилось много, и каждый год, потому что во время разлива Нила все границы участков смывались, и разметку приходилось делать заново.
Сейчас я расскажу, как с помощью Египетского треугольника можно на листочке в клеточку красиво нарисовать окружность. Поставим точку — это будет центр окружности. Будем рисовать окружность радиусом 5 клеток. Отложим от центра окружности пять клеточек вверх, вниз, вправо и влево. Мы получили тем самым 4 точки нашей окружности. Нарисуем для наглядности вблизи них маленькие кусочки дуги окружности.
Если попробовать по этим 4 точкам нарисовать окружность, то, скорее всего, получится или какая-нибудь «квадратная» окружность, или яйцо, или тыква.
Давайте нарисуем по клеточкам прямоугольный треугольник с вершиной в центре окружности, у которого один катет 3 клеточки, второй 4 клеточки. Это означает, что треугольник — Египетский, значит его гипотенуза равна 5, и, следовательно, лежит на нашей окружности. Рисуем еще один маленький кусочек окружности.
Понятно, что можно нарисовать еще три таких треугольника.
Теперь можно получить еще четыре точки, для этого нужно расположить Египетские треугольники немного по-другому. Положим их на другой катет. А старые треугольники для наглядности сотрем.
Если теперь мы соединим полученные точки плавными кривыми, то окружность у нас получится практически идеальная.
Конечно, то, что вы научились рисовать окружность радиусом 5 клеток на листке в клеточку, не может служить поводом не носить на уроки циркуль. Я рассказываю об этом фокусе, чтобы стало понятно, почему задачи по математике лучше решать на листочке в клеточку. Дело не только в том, что картинки, таблички и геометрические фигуры рисовать гораздо, чем на листочке в линеечку или на неразлинованном листочке. Главное — вам будет легче догадаться, какой будет правильный ответ.
Итак, первая картинка, которую мы хотим выучить наизусть — это египетский треугольник.
То, что гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4 равна 5, можно доказать по теореме Пифагора, для этого достаточно проверить равенство 3² + 4² = 5².
Теперь представьте себе, что в школе на уроке вам задают задачу, и в ней появился какой-то прямоугольный треугольник, у которого одна сторона 3, а вторая 4. Сразу ясно, что это Египетский треугольник, и можно без всяких вычисления написать, что третья сторона равна 5. И более того! Если в экзамене ЕГЭ или ОГЭ встречается прямоугольный треугольник, у которого одна сторона равна либо 3, либо 4, либо 5, то с большой вероятностью можно предположить, что это Египетский треугольник, и вам будет просто определить остальные его стороны. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами встречаются не часто. А Египетский среди них — самый маленький, самый простой. Этот треугольник встречается в подавляющем большинстве задач по геометрии. Вот почему надо наизусть знать Египетский треугольник. Это избавит вас от ненужных вычислений при решении многих задач. Вы просто будете сразу писать ответ.
Например, рассмотрим такую простую задачу:
Имеется прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Нужно найти гипотенузу. Понятно, что можно сделать это, воспользовавшись теоремой Пифагора. Но если вы зададите себе самый главный вопрос математики: во сколько раз треугольник с катетами 6 и 8 больше, чем Египетский треугольник с катетами 3 и 4, то вам сразу станет понятно, что в 2 раза. А это значит, что его гипотенуза равна 5 · 2 = 10.
В таких задачах заморачиваться с вычислениями не надо! Надо сразу писать ответ. Поэтому, если вы видите, что треугольник подобен Египетскому, то следует просто определить, во сколько раз он больше (или меньше), и простым умножением (или делением) определить длину неизвестной стороны.
В следующей публикации я расскажу о еще двух замечательных треугольниках, которые достойны того, чтобы узнавать их в лицо.