Из пассивных элементов электрических схем (резисторов, конденсаторов и катушек индуктивности) катушки менее всего пригодны к практической реализации. Связано это с тем, что, даже если размеры катушек малы, полная длина намотки становится сравнимой с длиной электромагнитной волны, распространяемой в катушке.
Основное назначение катушек в цепи переменного тока - обладать электрическим свойством, называемым индуктивностью. Но у катушек есть и нежелательное, "паразитное" свойство - собственная емкость. Собственная емкость не позволяет настроить контур на любую, сколь угодно высокую, частоту, уменьшает коэффициент перекрытия диапазона в схемах с конденсатором переменной емкости, влияет на коэффициент передачи фильтров с катушками индуктивности.
Формула индуктивности катушки более сложная, чем формула емкости плоского конденсатора, да и формул существует несколько, и все они не могут быть точными ввиду сложности конфигурации создаваемого катушкой магнитного поля. Еще сложнее вопрос с собственной емкостью.
На высоких частотах катушка может быть представлена спиральной однопроводной линией, обладающей распределенными вдоль линии индуктивностями и емкостями. При длине этой линии, эквивалентной четверти длины электромагнитной волны, в линии наступает резонанс, а эта частота называется частотой собственного резонанса катушки.
Но катушка редко работает вблизи частоты своего резонанса или на более высоких, на практике она рассчитывается на работу на более низкие частоты. В таком случае эквивалентной схемой катушки является схема с параллельным соединением катушки и конденсатора емкостью в собственную емкость катушки. Эта емкость зависит от материала каркаса, формы обмотки, наличия экрана и сердечника.
Для начала рассмотрим наиболее простой случай, с обмоткой на круглом каркасе диаметром D, с диэлектрической постоянной 1 (это диэлектрическая постоянная воздуха; в качестве примера, у полистирола диэлектрическая постоянная равна 2,5). Впервые вопросом собственной емкости озаботился Дж. К. Хаббард в 1917 году. В 1926 году С. Баттерворт (известный как создатель ряда схем электрических фильтров) предложил формулу для вычисления этой емкости, но формула оказалась непригодной для расчета катушек с небольшой высотой.
В это же время был изобретен метод измерения собственной емкости катушки путем прямого измерения резонансных частот колебательного контура из катушки и 2 конденсаторов с отличающимися емкостями, что позволяло затем рассчитать индуктивность и собственную емкость катушки. Но этот метод не позволял оценить параметры катушки на стадии проектирования.
В 1934 году А. Дж. Палермо предложил формулу собственной емкости однослойной катушки, с использование экзотической функции, гиперболического арккосинуса, не изучаемого в средней школе. После преобразования формула представляется в более привычном виде, через натуральный логарифм:
C = 2*пи*D/(ln(p/d) + √(p/d)^2-1))
где D - диаметр катушки, см; p - шаг намотки, см; d - диаметр проволоки, см.
В подкрепление своей формулы Палермо самостоятельно измерил собственную емкость 12 катушек, и использовал 7 сторонних результатов; впоследствии выяснилось, что часть результатов была искажена в угоду формуле. Также неясно, предшествовали измерения теории или теория измерениям.
На графике ниже отображен коэффициент пропорциональности между емкостью и диаметром согласно формуле Палермо, в зависимости от отношения шага намотки к диаметру провода.
Согласно формуле Палермо, при шаге, равном диаметру провода (т.е. при сплошной намотке), емкость катушки неограниченно возрастает. По факту, намотка ведется изолированным проводом, и отношение шага к диаметру провода всегда больше 1. Тем не менее, формула Палермо завышает емкость катушки существенно.
По формуле Палермо собственная емкость катушки не зависит от числа витков и уменьшается с ростом шага и уменьшением диаметра провода, что, как выяснилось впоследствии, оказалось неверным. Палермо рассматривал катушку как сумму распределенных между витками емкостей, а эта модель неверна.
Более-менее подобная модель работает на многослойных катушках и плоских спиральных катушках, но совершенно непригодна для наиболее распространенного случая однослойных катушек с высокой добротностью.
В 1999 году Г. Гринди была предложена схожая с формулой Палермо формула, но с включением в нее числа витков, при этом с ростом числа витков емкость падала, что совершенно не соответствовало действительности. Это еще один пример "теоретизирования на бумаге".
В 1947 году радиоинженер Н. Г. Медхёрст, сотрудник компании Дженерал Электрик, провел ряд измерений паразитной емкости огромного числа катушек, и выяснил, что собственная емкость слабо зависит от шага намотки, и ввел понятие форм-фактора катушки H. Емкость катушки в пикофарадах, по Медхёрсту, равнялась форм-фактору, умноженному на диаметр катушки в сантиметрах.
C = H*D
Форм-фактор зависел лишь от отношения длины катушки l к ее диаметру D. Выражение для форм-фактора по Медхёрсту следующее:
Значения H в зависимости от отношения l/D приведены на графике ниже, синяя линия.
При l/D=1 форм-фактор H минимален и равен 0,46, откуда распространенное представление, что емкость катушки в пикофарадах равна половине ее диаметра в сантиметрах. Эта упрощенная формула
C = 0,5*D
справедлива при отношении длины катушки к ее диаметру в пределах от 0,5 до 2.
Также, формулу можно переписать, введя коэффициент пропорциональности между собственной емкостью и длиной катушки (на графике выше красная линия). Этот коэффициент пропорциональности при катушке с преобладанием длины над диаметром свыше 10 близок к 0,113.
Работа Медхёрста полностью опровергла теорию Палермо, а Медхёрст объявил, что "данные по формуле Палермо не согласуются с экспериментом".
В 2013 году появилась фундаментальная работа доктора Дэвида У. Найта, в которой автор приходит к выводу, что подмена реальных отношений эквивалентной схемой с подключенными параллельно индуктивностью и емкостью справедлива лишь до частот, равных 60-70% от частоты собственного резонанса катушки.
На более высоких частотах емкость и индуктивность катушки уже не являются постоянными величинами и начинают зависеть от частоты Общие выводы из статьи Найта следующие:
1. Собственная емкость однослойной катушки прямо пропорциональна ее диаметру;
2. Оптимальные в плане малости собственной емкости катушки обладают отношением длины к диаметру, равным 1. Эти же катушки обладают и наибольшей добротностью; это объясняется тем, что при такой форме катушка обладает максимальной индуктивностью при минимальной длине провода.
3. Увеличение шага между витками не влияет на собственную емкость. Изменение шага при сохранении прежней длины катушки изменяет индуктивность катушки (за счет уменьшения числа витков), а не ее собственную емкость. Объяснение в том, что соседние витки оказывают друг на друга преимущественно магнитное воздействие, а не электрическое
Согласно новейшим концепциям, в катушке на высоких частотах вовсе не присутствуют никакие физические емкости, тем самым то, что принято называть собственной емкостью, на самом деле лишь некоторая математическая коррекция, требуемая для подгонки полного сопротивления (импеданса) катушки на высокой частоте к значению, вытекающему из индуктивности катушки на частотах, близких к нулевой.
Эта коррекция оказывается отрицательной по знаку, и мы по привычке приписываем ее наличию некоторой емкости.
Найт персмотрел данные Медхёрста и сравнил их с выведенной Медхёрстом формулой, и пришел к выводу, что в некоторых случаях формула дает погрешность порядка ±75%. Найт вывел формулу, схожую с прежней формулой, но уточнил коэффициенты в ней, что позволило увеличить точность формулы до ±2,1%.
Формула Найта такова:
Форм-фактор Найта рассчитан относительно не диаметра, а длины катушки, и параметром является не отношение длины к диаметру, а диаметра к длине. Ниже график по формуле Найта, но с пересчетом к традиционному представлению по Медхёрсту, как более удобному.
По этой формуле собственная емкость получается несколько ниже, чем по Медхёрсту, но для длинных катушек, с длиной, превышающей диаметр более чем в 7-8 раз, значения выравниваются.
Также, Медхёрст работал с катушками, намотанными на каркас из полистирола, но особо вопросом влияния материала каркаса на емкость катушки не занимался, а лишь пересчитал свои результаты к катушкам без каркаса.
Найт более подробно разработал данный вопрос, по его результатам можно придти к выводу, что намотка катушки на гладком каркасе приводит к увеличению собственной емкости на 15-30%, а намотка на каркасе с нарезками для провода увеличивает емкость на 40%. Пропитка катушки лаком или компаундом увеличивает емкость на 50%. и выше.
Итак, по современным представлениям. при отношении длины (высоты) катушки к диаметру в пределах 0,5-2,0, собственную емкость воздушной однослойной катушки в пФ можно считать равной 0,3-0,4 от ее диаметра в см. При намотке на каркасе этот коэффициент увеличивается до 0,4-0,5. Таким образом, никакой сенсации. Анонсированная в радиолюбительских журналах 1920-х годов зависимость: емкость равна половине диаметра никем не отменяется.
Ниже современная установка для определения резонансных емкостей катушки (по факту, катушка резонирует на частоте основного резонанса и ее гармониках).
