Давайте сразу скажем главное. Операция сложения определена для чисел (натуральных, целых, рациональных, вещественных, комплексных), алгебраических структур (одночленов, многочленов), функций, матриц, и так далее. Но операции: "складывание отрезков" не существует. Но в геометрии мы используем равенство для отрезков AС + BC = AB и равенство для углов ∠EDG + ∠GDF = ∠EDF. Что эти равенства означают, если мы не складываем отрезки и углы? Первое значит, что отрезок АС состоит из двух отрезком, и его длина равна сумме длин этих двух отрезков. Для углов аналогичная формулировка с использованием градусной меры. Длина и градусная мера это числовая характеристика геометрических фигур и именно она складывается в этих равенствах.
Для плоских фигур тоже существует числовая характеристика - площадь. И если мы напишем равенство для треугольников: ∆ABH + ∆BHC = ∆ABC, оно будет значит, что ∆ABC составлен из ∆ABH и ∆BHC и его площадь равна сумме площадей меньших треугольников. Хотя такое равенство нечасто встретишь, потому что для обозначения площади есть специальный символ. К тому же это равенство не приживётся, потому что из двух треугольников можно собрать различные фигуры.
Если бы для длины и градусной меры тоже использовалось специальное обозначение, точнее оно бы попало в школьный курс, то проблем бы не возникало.
Теперь обсудим, какие же проблемы возникают из-за применения операции сложения к отрезкам и углам. Они начинаются в седьмом классе, когда в треугольнике проводят биссектрису, медиану и высоту. Про последнюю вообще никто ничего не понимает. А первые две делят треугольник на два равных треугольника. У меня одной уже нервный тик от этой формулировки? Медиана не так часто приводит к такому заблуждению, а вот формулировка определения биссектрисы, как будто специально создана, чтобы порождать такие ошибки. Стоит только прочитать определение и сделать чертёж, так все сразу начинают делить треугольник. Масло в огонь подливает также соседство с темой: "Равнобедренный треугольник". Если в равнобедренном треугольнике провести биссектрису к основанию, получившиеся два треугольника будут равны. Это всё сбивается в одну кучу и еще долгое время дети прибывают в вере, что биссектриса делит треугольник. А вслед за этим они начинают складывать и вычитать треугольники, получая совершенно удивительные выводы.
