В школьном курсе химии среди расчётных задач встречаются те, которые связаны с приготовлением раствора заданной концентрации смешением двух растворов, концентрации которых известны. Решение подобных задач обычно производится с применением так называемого «правила креста». Оно весьма просто для запоминания, но по причине некоторой неочевидности может восприниматься как некое «шаманство». Разумеется, ничего необычного в правиле креста нет, оно достаточно просто обосновывается математически. Именно это обоснование изложено ниже, причём для понимания его достаточно школьных знаний по алгебре 8 класса.
Задача
Дано два раствора вещества с массовыми концентрациями (массовыми долями) w₁ и w₂. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией w₃ ?
Решение
Введём следующие обозначения. Пусть для получения раствора с концентрацией (массовой долей) w₃ требуется смешать x г раствора с концентрацией w₁ и y г раствора с концентрацией w₂ . Таким образом в задаче требуется найти величину x/y (отношение масс смешиваемых растворов). Будем считать, что
w₁ < w₃ < w₂ .
Обозначим массу раствора с концентрацией w₃ как z г. Очевидно, что
x + y = z .
Масса вещества в x г раствора с концентрацией w₁ равна:
w₁·x
Масса вещества в y г раствора с концентрацией w₂ составит:
w₂·y
Масса вещества в z г раствора с концентрацией w₃ будет:
w₃·z
При смешивании растворов массы растворённых в них веществ складываются, то есть
w₁·x + w₂·y = w₃·z
Таким образом получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Для решения этой системы умножим правую и левую части верхнего уравнения на w₁ , после чего вычтем его из нижнего уравнения. Получим:
Найдём теперь x:
Таким образом, исходная система уравнений имеет следующее решение:
Теперь остаётся найти отношение x/y:
Иными словами, для получения раствора с концентрацией w₃ нужно смешать растворы с концентрациями w₁ и w₂ в следующем соотношении:
Данная пропорция и является математическим выражением правила креста, поскольку оно графически изображается следующим образом:
Приведённая мнемоническая схема означает, что для приготовления раствора с концентрацией w₃ нужно смешать (w₂ – w₃) массовых частей раствора с концентрацией w₁ и (w₃ – w₁) массовых частей раствора с концентрацией w₂.
* * *
Правило креста справедливо и для случая, когда вместо массовой концентрации w используется молярная c. В этом случае исходная задача переформулируется так: «Дано два раствора вещества с молярными концентрациями c₁ моль/л и c₂ моль/л. В каком соотношении их нужно смешать между собой, чтобы получить раствор с промежуточной концентрацией c₃ моль/л?».
Введя обозначения: x л – объём раствора с концентрацией c₁, y л – объём раствора с концентрацией c₂ и z л – суммарный объём конечного раствора с концентрацией c₃ (c₁ < c₃ < c₂), можно с учётом того, что при смешивании растворов количества растворённых в них веществ складываются, записать систему уравнений, с точностью до обозначений совпадающую с рассмотренной выше:
В связи с этим искомое соотношение объёмов растворов x/y будет иметь аналогичный вид:
Как легко догадаться, мнемоническая схема для молярных концентраций будет иметь вид, подобный случаю с массовыми концентрациями.
См. также: