Задание
Дано два водных раствора глюкозы. В первом массовая доля растворённого вещества составляет 3%, а во втором – 10%. Сколько этих растворов нужно взять, чтобы при смешивании получить 196 г раствора с концентрацией глюкозы 8%?
Решение
Запишем концентрации исходных и конечного растворов вот таким схематичным образом:
Вычтем из 10 число 8 и запишем это прямо на схеме:
Следующий шаг – вычтем из 8 число 3 и также отразим это:
На схеме записи располагаются крестообразно – именно поэтому такой метод решения задач, подобных рассматриваемой здесь, и называется «правилом креста». Полученные числа 2 и 5 показывают в каком соотношении нужно взять исходные растворы, чтобы при их смешении получить нужный. Иными словами в соответствии со схемой нужно взять 2 весовые части 3%-го раствора и 5 весовых частей 10%-го раствора.
По условию задачи масса конечного раствора должна составлять 196 г или 2 + 5 = 7 весовых частей исходных растворов, отсюда масса одной весовой части будет составлять 196 / 7 = 28 г. Таким образом, масса первого (3%-го) раствора будет равна 2 · 28 = 56 г, а масса второго (10%-го) – 5 · 28 = 140 г. Массу второго раствора можно найти и иначе, на основании ставшей известной массы первого: 196 – 56 = 140 г.
Ответ
Масса первого (3%-го) раствора 56 г,
масса второго (10%-го) раствора 140 г.
Комментарий
Разные преподаватели используют разные подходы к подаче материала, а также к его выбору. Моя школьная учительница не могла не знать о правиле креста, однако про него ничего не рассказывала на уроках, при этом задачи, которые через него легко решаются, она нам давала. Приходилось сначала подумать, а затем, обозначив неизвестные массы растворов буквами x и y, составлять систему из двух уравнений с двумя неизвестным. Для рассмотренной здесь задачи первое уравнение выглядело бы так (сумма масс исходных растворов равна массе конечного):
x + y = 196
Второе же уравнение описывает равенство суммы масс растворённого вещества в исходных растворах и массы растворённого вещества в растворе конечном (8·196 = 1568):
3x + 10y = 1568
В связи с этим задачи такого типа не были у меня в числе любимых, поэтому когда я всё-таки про правило креста узнал (это на первом курсе химфака!), то отнёсся к нему с недоверием, однако это побудило разбираться, откуда оно, правило это, вообще берётся и на чём основано. Имея опыт решения задачи через составлением системы уравнений, я без особых затруднений справился, обосновав для себя правило креста математически.
Как-то, уже спустя целый ряд лет, при попытке найти что-то подобное на интернет-просторах довелось сильно удивиться, поскольку выловить в Сети информацию именно на данную тему не вышло – я уже писал, что очень легко гуглятся лишь задачи, которые через правило креста решаются с подробным описанием использования данного метода решения. В связи с этим в период, когда я пробовал заниматься репетиторством, для удобства была написана соответствующая заметка, с помощью которой через математическое обоснование правила креста любопытным школьникам наглядно демонстрировалось наличие межпредметных связей (в данном случае – между химией и алгеброй).
В разделе канала «Школьные задачи» есть задания, при решении которых правило креста применяется, но в них оно используется или немножко нетипично (Х-10), или вообще как отдельный этап (Х-9). Предложенная же выше задача про смешивание растворов глюкозы представляет собой, если можно так выразиться, именно «классическое» задание на правило креста, что и позволяет пошагово рассмотреть его применение. Да, пускай в Интернете такой информации навалом, но разве я чем-то хуже – теперь и у меня такой материал тоже на канале есть!
Другие задачи, имеющиеся на канале, можно найти здесь.