{"draftJsState":{"blocks":[{"data":{"image":{"id":"5f96a37dbc35081b52839044"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Георг Кантор","type":"atomic:image","key":"da1vn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Понятие множества","type":"header-two","key":"cehpn"},{"data":{"image":{"id":"5f96a35e1772f52b508b8bbd"}},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества S.","type":"unstyled","key":"d776b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"∈ - обозначает отношение принадлежности. Запись x ∈ S означает, что элемент x принадлежит множеству S.","type":"unstyled","key":"463km"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Записывают А = В, если А и В равны, а А ≠ В - в противном случае.","type":"unstyled","key":"4u5u4"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Понятие формы","type":"header-two","key":"fcupv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Под формой от х будем понимать конечную последовательность, состоящую из слов и символа х, такую, что если каждое вхождение х в эту последовательность заменить одним и тем же именем некоторого предмета соответствующего рода, то в результате получится истинное или ложное предложение.","type":"unstyled","key":"ev138"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Любая форма Р(х) определяет некоторое множество А, а именно множество тех и только тех предметов а, для которых Р(а) - истинное предложение.","type":"unstyled","key":"7381h"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А = {х|Р(х)} {х|х - четное число}","type":"unstyled","key":"a2p02"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Парадокс Бертрана Рассела","type":"header-two","key":"6991g"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Назовем множество \"обычным\" в том случае, если оно не является элементов самого себя (\"расселовское\" - множество всех обычных множеств).","type":"unstyled","key":"6rj5u"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"\"Необычным\" множеством, в свою очередь, назовем такое множество, которое само является собственным элементом.","type":"unstyled","key":"eei9e"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пусть \"расселовское\" множество - обычное. если оно обычное, то должно включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит из всех \"обычных\" множеств. но в то же время, оно не может быть \"обычным\", т.к. включает самого себя.","type":"ordered-list-item","key":"55i7i"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пусть \"расселовское\" множество - необычное. Теперь оно не может включать себя в качестве элемента, ведь по определению оно состоит только из обычны множеств. Но если так, и оно не включает себя, оно само должно быть \"необычным\".","type":"ordered-list-item","key":"fhhqg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Операции над множествами","type":"header-two","key":"62php"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Множеством U называется универсальным, если все рассматриваемые входе данного рассуждения множества являются подмножествами некоторого множества U.","type":"unstyled","key":"365kk"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":13,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Объединением множества А и В называется множество A∪В, все элементы которого являются элементами множеств А или В: А∪В = {x|x ∈ A или x ∈ В}.","type":"unstyled","key":"5mb0c"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":13,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Пересечением множеств А и В называется множество A ⋂ B, элементы которого являются элементами обоих множеств А и В: A ⋂ B = {x|x ∈ A и x ∈ В}.","type":"unstyled","key":"f2p76"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Следствие: A ⋂ B ⊆ A ⊆ A ∪ B и А ⋂ B ⊆ В ⊆ A ∪ B","type":"unstyled","key":"26a39"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":43,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Относительным дополнением (разностью Х и А) множества А до множества Х называется множество Х\\А всех тех элементов множества Х, которые не принадлежат множеству А: Х\\А = {x|x ∈ Х и x ∉ А}","type":"unstyled","key":"akl7p"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":23,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Симметрической разность множества А и В называется множество А + В = (А\\В)∪(В\\А).","type":"unstyled","key":"dft5b"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":21,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":55,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":115,"style":"BOLD"}],"text":"Абсолютным дополнение множества А называется множество Ǡ всех тех элементов х, которые не принадлежат множеству А: Ǡ = U\\A.","type":"unstyled","key":"r5tr"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Основные тождества алгебры множеств","type":"header-two","key":"b1jfs"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Для любых подмножеств А, В и С универсального множества U выполняются следующие тождества:","type":"unstyled","key":"c19d9"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ В = В ∪ А; A ⋂ B = В ⋂ А (коммутативность);","type":"ordered-list-item","key":"crcnf"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ (В ∪ С) = (А ∪ В) ∪ С; А ⋂ (В ⋂ С) = (А ⋂ В) ⋂ С (ассоциативность);","type":"ordered-list-item","key":"fjjus"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ (В ⋂ С) = (А ∪ В) ⋂ (А ∪ С); А ⋂ (В ∪ С) = (А ⋂ В) ∪ (А ⋂ С) (дистрибутивность);","type":"ordered-list-item","key":"enmjg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ ∅ = А; А ⋂ U = А;","type":"ordered-list-item","key":"3h0ko"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":2,"offset":4,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":15,"style":"BOLD"}],"text":"А ∪ A = U; А ⋂ Ǡ = ∅;","type":"ordered-list-item","key":"2e0a6"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ А = А; А ⋂ А = А;","type":"ordered-list-item","key":"fhhrn"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ U = U; А ⋂ ∅ = ∅","type":"ordered-list-item","key":"7og1a"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":5,"offset":0,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":8,"style":"BOLD"},{"length":1,"offset":12,"style":"BOLD"},{"length":5,"offset":15,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":23,"style":"BOLD"},{"length":2,"offset":27,"style":"BOLD"}],"text":"А ∪ В = А ⋂ В; А ⋂ В = А ∪ В (закон де Моргана);","type":"ordered-list-item","key":"3aqf3"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"А ∪ (А ⋂ В) = А; А ⋂ (А ∪ В) = А; (закон поглощения).","type":"ordered-list-item","key":"60ir7"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Упорядоченные пары","type":"header-two","key":"9hm8f"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Упорядоченная пара интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов х и y, расположенных в определенном порядке. Две пары и считаются равными тогда и только тогда, когда x = u, y = v.","type":"unstyled","key":"d6evb"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Упорядоченная n-ка (кортеж) элементов х1,х2,...,хn обозначается и, по определению, есть <,xn>.","type":"unstyled","key":"53ksi"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":13,"offset":33,"style":"BOLD"},{"length":13,"offset":50,"style":"BOLD"}],"text":"Элементы x1,x2,....xn называются компонентами или координатами n-ки.","type":"unstyled","key":"6v0je"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[{"length":33,"offset":0,"style":"BOLD"}],"text":"Прямым (Декартовым) произведением множеств Х и Y называется совокупность всех упорядоченных пар таких, что х ∈ Х и у ∈ Y. Обозначается такое произведение множеств X x Y.","type":"unstyled","key":"76fov"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пример","type":"unstyled","key":"1furg"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Пусть Х = {1,2,3}, Y = {0,1}","type":"unstyled","key":"4h02m"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Тогда","type":"unstyled","key":"blnro"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"X x Y = {<1,0>, <1,1>, <2,0>, <2,1>,<3,0>,<3,1>}","type":"unstyled","key":"2hr68"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"Y x X= {<0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,1>, <1,2>, <1,3>}","type":"unstyled","key":"7kpnv"},{"data":{},"depth":0,"entityRanges":[],"inlineStyleRanges":[],"text":"","type":"marker","key":"YqyFruzKBMjaEZRkRSFd"}],"entityMap":{}},"mentions":[]}