Первая лемма о воробьях

На сторонах АВ и ВС треугольника общего вида △ABC отмечены точки P и Q соответственно.
Пусть точка М — середина дуги АС (В ∈ AC) описанной около △ABC окружности.

Докажите, что AP = CQ тогда и только тогда, когда точки B, M, P и Q лежат на одной окружности.

Рис. 1.

Точки P и Q могут быть отмечены на продолжениях сторон АВ и/или ВС,
т.е. AP > AB и/или CQ > CB, см. рис. 2 и 3.

Рис. 2.

Рис. 3.

Точки P и Q могут быть отмечены на продолжениях сторон АВ и ВС и в другую сторону от точки В, см. рис. 4.

Рис. 4.

Итак, обобщим все указанные случаи: воробьи (точки P и Q) могут прыгать одновременно по прямым АР (от точки А) и СР (от точки С), как им заблагорассудится, но на равное расстояние и в одном направлении (к точке В или от точки В).

Указания к доказательству

Рис. 5. Общая идея решения для всех случаев расположения точек P и Q

Докажите равенство △AMP и △CMQ.

Примечание. Насколько мне известно, название «Первая лемма о воробьях» закрепилось за этим геометрическим фактом после публикации статьи А.Полянского в журнале Квант №2 (2012 год).