Арабские цифры настолько тесно вошли в нашу жизнь, что сама мысль об использовании, какого-то другого начертания или набора символов для обозначения десятичных чисел кажется надуманной и праздной. Однако ещё совсем недавно, каких-то 500 - 600 лет назад, европейцы не знали арабских цифр, которые на самом деле были заимствованы арабами у индусов чуть более 1000 лет назад. Примерно в VII – IXвеках привычные нам арабские цифры и позиционная десятичная система счисления распространились в Китае и Средней Азии и уже оттуда перекочевали в Европу, вытеснив громоздкие римские цифры сначала в финансовых документах, а потом повсеместно. Такой успех арабских цифр объясняется простотой и универсальностью их использования, которые не в последнюю очередь обусловлены именно начертанием этих самых цифр. И это заставляет задуматься о том, что неизвестный нам автор «арабских» цифр, создавая их как универсальный инструмент для счёта (простой, понятный и надёжный), должен был руководствоваться какими-то общими соображениями. Ну, например, такими:
- начертание каждой цифры должно подчиняться неким формальным правилам.
- правила формирования цифр должны быть простыми и понятными для их написания и прочтения.
- цифры должны быть легко узнаваемыми и визуально отличимыми друг от друга и от других символов алфавита.
Следуя за предложенной логикой разработчика «арабских» цифр давайте попробуем разобраться, какому универсальному правилу подчиняются эти цифры. Здесь есть над чем подумать. В различных источниках довольно популярна гипотеза о зависимости начертания цифр от их значений. Предположение о том, что значение цифры может соответствовать количеству углов, образуемых ломаными линиями при её начертании, при первом рассмотрении кажется не очень плодотворным. Действительно, зачем городить какие-то сложные фигуры, если при таком подходе любая цифра, может быть представлена в виде простой геометрической фигуры (прямая линия – 0, открытый угол – 1, два открытых угла – 2, треугольник – 3, четырехугольник - 4, пятиугольник – 5 и т.д.). Тем не менее, поиск в Интернете подтвердил, что такая точка зрения имеет место быть в головах отдельных исследователей. В частности, в Википедии приводится довольно туманная фраза о том, что существует некий миф о зависимости значений арабских цифр от количества углов в фигурах, обозначающих эти цифры.
При этом предлагается вот такое оригинальное начертание арабских цифр в подтверждение гипотезы о том, что количество углов соответствует значению цифры.
И такому начертанию цифр дано соответствующее пояснение:
0 — цифра без единого угла в начертании;
1 — содержит один угол;
2 — содержит два угла;
3 — содержит три острых угла (правильное, арабское, начертание цифры получается при написании цифры 3 при заполнении почтового индекса на конверте);
4 — содержит 4 угла (именно этим объясняется наличие «хвостика» внизу цифры, никак не влияющего на ее узнаваемость и идентификацию);
5 — содержит 5 прямых углов (назначение нижнего хвостика — то же самое, что у цифры 4 — достройка последнего угла);
6 — содержит 6 прямых углов;
7 — содержит 7 прямых и острых углов (правильное, арабское, написание цифры 7 отличается от приведенного на рисунке наличием дефиса, пересекающего под прямым углом вертикальную линию посередине (вспомним, как мы пишем цифру 7), что дает 4 прямых угла и 3 угла дает еще верхняя ломаная линия);
8 — содержит 8 прямых углов;
9 — содержит 9 прямых углов (именно этим объясняется столь замысловатый нижний хвостик у девятки, который должен был достроить аж 3 угла, чтобы общее их число стало равно 9.
Если устранить стилистическое разнообразие в начертании предложенных цифр, то они вполне сносно удовлетворяют исходному эвристическому правилу. Правда искусственное дополнение некоторых цифр (5,7,9) «хвостиками» очень сильно напоминает подгонку результата под требуемый ответ. Но самое главное ноль или круг при не идеальном начертании можно интерпретировать и как многоугольник с N углами, а это уже прямое противоречие базовой идее.
Поэтому, не отказываясь от самой идеи о том, что количество углов определяет начертание цифры, попробуем самостоятельно (вслед за неизвестным автором арабских цифр) сгенерировать фигуры из ломаных линий с требуемыми количествами углов. Ниже представлена таблица, составленная из таких фигур. Все десять строк этой таблицы заполнены стилизованными фигурами, составленными из отдельных отрезков разной длины, и над каждым столбцом арабскими цифрами указано количество углов.
Предлагаемый вариант начертания арабских цифр вполне соответствует базовой идее и тем правилам, которые были декларированы при обсуждении общей концепции «арабских» цифр. Т.е. каждая цифра состоит из количества углов равного значению этой цифры. С уверенностью можно предположить, что представленная нами таблица не покрывает все возможные варианты начертания таких цифр. И из этого можно сделать вывод, что настоящие «арабские» цифры могли быть избыточны. Т.е. для обозначения одной и той же цифры можно было использовать разные фигуры. При этом предполагалось, что любой грамотный человек должен легко понимать значения таких цифр, зная базовое правило, по которому эти цифры формировались. Опять же можно предположить, что такая избыточность была не надуманной, а решала вполне практические задачи. Например, разные фигуры одной и той же цифры могли использоваться для счета объектов разной физической природы, таких как животные, растения, люди, деньги и т.п. Если наши предположения принять за истину, а здравый смысл и формальная логика вполне допускают вероятность существования такого «цифрового» разнообразия, то выходит, что арабы заимствовали у индусов не всю систему записи десятичных чисел, а только какую-то её часть. Оставив за скобками непонятную избыточность и связанную с ней философию. Чтобы прояснить природу сегодняшних арабских цифр давайте попытаемся проанализировать приведенную выше таблицу. Не правда ли, при рассмотрении представленного набора цифр не покидает ощущение, что такую таблицу нужно читать сверху вниз, а не слева направо. В этом случае, начиная с пятого столбца, мы уверенно идентифицируем знакомые нам арабские цифры в каждом столбце приведенной таблицы. Попробуем найти этому объяснение. Давайте предположим, что при заимствовании «арабских» цифр и десятичной системы счисления у индусов, арабы получили в свое распоряжение некую таблицу с набором символов-цифр схожую с той, что была сгенерирована нами. При этом, опять же можно предположить, что индусы не внятно объяснили арабам те эвристические правила, по которым должны формироваться такие символы-цифры. А может быть и вовсе не давали никаких объяснений по этому поводу. Или арабы получили все подробные инструкции, но сочли их чрезмерно сложными и проигнорировали их. На самом деле, теперь уже неважно по каким причинам произошла подмена понятий в прочтении исходных цифр. Важно другое. Читая представленную таблицу сверху вниз, мы получаем набор фигур очень сильно напоминающих «наши арабские» цифры.
Не правда ли, представленные фигуры гораздо лучше ассоциируются с привычными нам арабскими цифрами без всяких подгонок и искусственных «хвостиков». При этом все фигуры стилистически однородны (выполнены, так сказать, по одному типовому проекту). Конечно, значения выбранных нами цифр уже не отвечают первоначальной идее разработчика этих цифр. Но приведённый набор символов, состоит из уникальных по начертанию фигур и позволяет осуществлять счёт в позиционной десятичной системе счисления по достаточно простым и универсальным правилам – один символ обозначает одну цифру и позиция каждой цифры в числе означает её вес. Таким образом, мы получили то, что хотели – простую, понятную и достаточно удобную для практических расчётов десятичную позиционную систему счисления. При этом, как это часто бывает в реальной жизни, дальнейшая эксплуатация этого базового набора фигур могла вносить свои коррективы в начертание некоторых цифр, ещё больше игнорируя первоначальную идею. Скорее всего, изменение начертания цифр было продиктовано желанием упростить их форму для написания (так сказать повысить эксплуатационные характеристики), поэтому углы в первоначальных фигурах сглаживались как функционально ненужные, а разомкнутые контуры замыкались. Так, например, могли трансформироваться символы нуля и восьмёрки чем-то напоминающие разомкнутый круг. К нулю добавили палочку, тем самым, замкнув контур, и округлили, превратив в знакомый нам ноль. Возможно, что известный фразеологизм «ноль без палочки» берет свое начало именно из этой трансформации первоначальной фигуры, подразумевая, что ноль без палочки имеет не завершенный, не законченный вид, представляя собой некое недоразумение.
Однако если вернуться к сгенерированному нами набору фигур (настоящих «арабских» цифр), то мы обнаружим, что они (фигуры) обладают еще одним замечательным свойством. Все цифры из представленной таблицы могут быть зеркально отражены относительно настоящего нуля ( | ) и это наводит на мысль о том, что автор этих цифр предусмотрел возможность их использования для обозначения как положительных, так и отрицательных чисел:
Т.е. одна и та же цифра может быть как отрицательным, так и положительным числом без использования знаков минус (-) и плюс (+). Знак числа определяется начертанием цифр(ы) относительно нуля. Вам не кажется, что это более удобный, более экономичный и самое главное, более естественный способ обозначения отрицательных и положительных чисел? И это, кстати, объясняет почему для обозначения цифр в рамках рассматриваемой парадигмы не подходят простые геометрические фигуры и многоугольники в частности. Потому что, по замыслу автора «арабских» цифр, их начертание должно быть ассиметричным относительно вертикальной оси фигуры. Только при соблюдении этого условия работает обнаруженное нами правило зеркальной симметрии отрицательных и положительных чисел.
Еще один важный момент результатов данного исследования, на который следует обратить внимание. В сгенерированном нами наборе фигур нет круга, обозначающего в привычной нам системе счисления цифру ноль. Представляется вполне логичным, что если такой символ все-таки был в первоначальном наборе индийских цифр, то он, скорее всего, обозначал не 0, а бесконечно большое число или самое большое число, т.е. позволял оперировать абстрактным понятием, и являлся аналогом современного символа бесконечности «∞». Эта гипотеза косвенно подтверждается двумя соображениями. Во-первых, в круг можно вписать любой многоугольник с бесконечным количеством углов и это хорошо согласуется с базовой идеей о зависимости значения цифры от количества углов в ее начертании, и, во-вторых, стилистически 0 или круг сильно отличается от остальных цифр, тем самым, подчеркивая особый статус этого символа. При этом само понятие ноль в индийской системе счисления является фундаментальным и никуда не исчезает. Для обозначения нуля в рассматриваемом наборе фигур использовалась палочка (прямая линия – фигура без углов).
Подводя итоги можно отметить следующее. Во-первых, казавшееся довольно спорным предположение о том, что форма арабских цифр определяется количеством углов, образуемых ломаными линиями при их начертании, нашло логическое подтверждение. В обоснование этой идеи, была сформулирована непротиворечивая цепь рассуждений объясняющих, почему арабские цифры имеют привычную нам форму. Во-вторых, было предложено новое толкование известного фразеологизма «ноль без палочки». И, в-третьих, было найдено новое свойство «арабских» цифр – зеркальная симметрия относительно нуля, которое можно использовать для принципиально иного способа записи отрицательных и положительных чисел. Как тут не вспомнить мудрость Козьмы Пруткова – «Бросая камешки в воду, смотри на круги, ими образуемые: иначе такое бросание будет пустою забавой».
