Пират по кличке Черный Пес был должен Сильверу столько денег, что не мог расплатиться до конца жизни. Давайте узнаем, как так вышло.
Когда Черный Пес был еще молод и с Сильвером близко знаком не был, он поспорил с ним. Слово за слово, и Сильвер предложил продавать Черному Псу ежедневно тридцать два дублона в обмен на сущую мелочь (как показалось пиратам).
Один дублон равен 32 реалам
В первый день Черный Пес должен был дать за 32 дублона один реал, во второй день два, в третий четыре, и так в течение месяца: цена тридцати двух дублонов каждый день была вдвое выше вчерашней.
Черный Пес прикинул, что на пятый день он купит 32 дублона за один, а через неделю за четыре, и решил, что дело стоящее.
Почему Сильвер на это согласился (и даже сам предложил, если разобраться), Черный Пес не задумался. В те времена люди полагали собеседника глупее себя. Сейчас так не делают, никогда-никогда. Честно.
Я полагаю, вы все поняли, чем все кончилось. Но я поясню, потому что это совсем неочевидно, даже если знать суть.
Выплата Черного Пса в день с номером i равна двум в степени i-1. На тридцатый первый день это 2 в степени 30; с учетом, что десятая степень двойки это 1024 (немного больше тысячи), это больше, чем 1000³, то есть больше миллиарда реалов (что превосходит 31 миллион дублонов). Сильвер же заплатил 31 раз по 32, что меньше тысячи.
Даже если это был февраль невисокосного года (28 дней) это мало что меняет: в последний день Пес должен был выплатить более 134 миллионов реалов, что более, чем 4 миллиона дублонов. А взамен он получил 28 раз по 32 дублона, то есть менее 900.
И это в последний день только! А как посчитать всю сумму?
Выплаты образуют прогрессию: первая выплата A равна одному реалу, каждый день она удваивается: умножается на "знаменатель прогрессии" q=2.
Формула для суммы n слагаемых прогрессии выглядит так:
В нашем случае знаменатель формулы равен 1 и A тоже 1, так что формула упрощается: полная выплата за n дней на единицу меньше выплаты следующего дня! То есть грубо можно считать, что за февраль Черный Пес заплатил около 8 миллионов дублонов. Точнее, не заплатил, а остался должен, потому что столько денег не было вообще на всём Побережье.
Давайте докажем формулу, а то вдруг кто-то забыл доказательство, а на слово не верит. Слагаемые обозначим A(n), при этом первое слагаемое A(1)=А можно считать равным единице, это выбор единиц измерения, а далее A(i+1)=qA(i).
Запишем сумму первых n слагаемых: S(n)=1+q+... и заметим, что S(n+1)=qS(n)+1, но также S(n+1)=S(n)+A(n+1). Из этих двух уравнений выразим S(n).
Черный Пес был прав, оценив неделю как хороший для себя срок. В течение недели он был в плюсе, и даже две недели. На четырнадцатый день он начинал проигрывать, но деваться было уже некуда: договор, заключенный в присутствии всей команды и скрепленный капитаном, нарушать нельзя. А Сильвер половину срока свои обязательства исполнял исправно, выплатив Черному Псу более 2400 дублонов.
Потом случилась еще одна похожая история. Казна одной колонии каждый год удваивалась, и за десять лет было накоплено десять тысяч золотых слитков. Флинт собирался атаковать город тогда, когда будет двадцать тысяч слитков, и хотел было отложить набег на несколько лет. Однако Сильвер доказал капитану, что набег уже пора готовить, потому что слитков уже почти 20 тысяч...
Ну и врассыпку:
- Есть версия, что именно Сильвер навел Томаса Мальтуса на мысль о геометрической прогрессии численности народонаселения...
- Легенду про изобретателя шахмат все, наверное, знают: тот попросил в награду столько риса, чтобы на первую клетку одно зернышко, на вторую два, и так далее... По космическим масштабам, не так уж и много получилось: Луна весит меньше.
- Похожая легенда есть про римского полководца: он попросился на пенсию, ну и император велел штамповать специальные монеты, каждый день вдвое тяжелее, из чистого золота, специально для заслуженного пенсионера. Через две недели бедняга копьем выкатил монетку и больше на монетный двор не ходил. Ну, на скромную жизнь, наверное, хватило... Римская монета весила 4.55 г. С этого начали. Сколько золота досталось полководцу, если более ста кг он укатить не мог?
- Если мы режем листок бумаги массой 1 грамм пополам, потом половину еще пополам, и так пока не получится кусочек массой в 1 грамм углерода, сколько надо разрезов? Больше ста или меньше? В 12 граммах углерода 6∙10²³ атомов, так что в одном грамме примерно 5∙10²².
- Если в среднем один человек заражает за сутки каким-нибудь вирусом двоих, то через сколько дней один нулевой пациент превратится в миллиард? (Ответ: через тридцать). А если масочка снижает коэффициент до значения меньше единицы, то эпидемия кончается...
