Метачисло (М) – это составное натуральное число, построенное по весьма простому правилу (открытому автором в начале 2020 г., а данная статья всего лишь уточняет некоторые важные моменты в части метачисел, о которых автор уже много писал "ВКонтакте"). Метачисло М составляется из всех простых чисел (2, 3, 5, 7, 11, 13, … ) вплоть до некого старшего (наибольшего) простого числа Р по такой формуле (это так называемое каноническое разложение числа М, о котором, кстати, всем нам ещё в школе рассказывали):
М = (2^C2)(3^C3)(5^C5)∙(7^C7)∙…∙(P^CP), (1)
где Р – это старшее простое число (у данного метачисла М), а вот показатель степени у каждого простого числа в формуле (1) вычисляется так: С2 = [lnP/ln2]; С3 = [lnP/ln3]; С5 = [lnP/ln5]; С7 = [lnP/ln7]; …; СР = [lnP/lnР] = 1, причем квадратные скобки […] в данном случае означают функцию «антье», то есть целую часть дроби (отношения двух натуральных логарифмов), стоящей в квадратных скобках. Так, скажем, при старшем простом Р = 11 мы получаем (показатель степени у первого простого числа: С2 = [ln11/ln2] ≈ [2,40/0,69] ≈ [3,46] = 3, поэтому в формуле (1) это запишется так: М = 2^3 (первое простое число 2 в степени 3) и так далее для прочих простых (см. пример ниже).
Например, старшее простое число Р = 11 порождает следующее метачисло: М = (2^3)(3^2)(5^1)∙(7^1)∙(11^1) = 8∙9∙5∙7∙11 = 27 720.
Главное свойство полученного метачисла заключается в том, что это первое (т.е. наименьшее) число в натуральном ряде, у которого его целые делители (D) копируют начало натурального ряда (длиной не менее числа Р), а именно: D = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … (но вот уже число 13 не делит наше М нацело, т.е. 13 не является делителем М). Всего же у данного метачисла М = 27720 будет 96 целых делителей, иначе говоря, у данного метачисла тип (Т) равен 96 (Т = 96). И это максимально возможный тип (Тmax) среди первых 27720-ти натуральных чисел, то есть данное метачисло М является типомаксом (в терминах автора или сверхсоставным числом – в терминах теории чисел) Однако в дальнейшем (при больших значениях старшего простого Р) метачисла уступают пальму первенства типомаксам, то есть очередной максимально возможный тип (Тmax) сначала появится у некого типомакса, а только потом у метачисла, стоящего на числовой оси, образно говоря, «за спиной» этого типомакса (относительно близко к нему). Короче говоря, метачисла – это наилучшее приближение к типомаксам (алгоритм поиска которых автору пока неизвестен в отличие от метачисел).
Итак, формула (1)(которая включает в себя и правило вычисления всех целых показателей степени С2, С3, С5, С7, …) – это и есть алгоритм поиска всех метачисел: М = 2, 6, 12, 60, 420, 840, 2520, 27720, 360360, 720720, 12252240, … (этот ряд – бесконечен, как и ряд простых чисел, см. таблицу). Ряд метачисел стремительно растет по экспоненте (что легко проверить с помощью ПК): М ≈ ℮^P, где Р – это старшее простое число в формуле (1). Поэтому очень большие метачисла (скажем, у которых Р ~ 10^61, чуть подробней – см. в конце данной статьи) можно рассматривать как самую элементарную (и самую понятную!) «модель» Метавселенной, которая (по определению) включает в себя множество самых разных вселенных, в том числе и точную копию нашей Вселенной. Вот почему в начале 2020 г. автор назвал открытые (ещё в 2004 г.) им числа – метачислами. Ведь главное их свойство – метачисла своими целыми делителями (впервые в натуральном ряде) копируют начало натурального ряда длиной не менее Р, где Р – это старшее простое число в каноническом разложении данного метачисла (см. формулу 1 и таблицу).
Не менее интересное свойство метачисел заключается также в следующем:
Км = С2 + С3 + С5 + С7 + … + СР, (2)
где Км – это порядковый номер метачисла (в ряде всех метачисел), который оказывается равным сумме всех показателей степени (в каноническом разложении данного метачисла М, см. формулу 1).
Однако параметр Км, вычисляемый нами по формуле (2), может совершать один или два «скачка» (но не более того?). То есть формула (2) сигнализирует нам о пропуске (формулой 1) некоторых метачисел. Так (см. таблицу), при старших простых Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13 по формуле (1) мы находим такие метачисла: М = 2, 6, 60, 420, 27720. Однако при этом формула (2) выдает нам далеко не все номера: Км = 1, 2, 4, 5, 8, 9, то есть у формулы (2) сначала был малый скачок (был пропущен один номер Км = 3), а затем был совершен большой скачок (пропущено сразу два номера: Км = 6 и Км = 7).
Первый малый скачок у формулы (2) происходит при старшем Р = 5. То есть этот скачок происходит между двух метачисел со старшими простыми Р = 3 и Р = 5. Поэтому следуем, скажем так, Х-алгоритму: ищем такое простое число (Х), которое в некой целой степени (Z) даст нам число (X^Z), заключенное между указанными старшими простыми (то есть 3 < X^Z < 5). В данном случае мы находим, что Х = 2 и Z = 2, поэтому X^Z = 2^2 = 4, затем в каноническом разложении меньшего метачисла (М = 2∙3) мы делаем замену, вставляя X^Z, и получаем недостающее (пропущенное формулой 1) метачисло М = (2^2)∙3 = 12 (см. первую розовую клетку с произведенной нами заменой в таблице).
Первый большой скачок у формулы (2) происходит при старшем простом Р= 11. То есть этот скачок происходит между двух метачисел со старшими простыми Р = 7 и Р = 11. Поэтому опять следуем Х-алгоритму (теперь применяем его дважды): ищем такое простое число (Х), которое в некой целой степени (Z) даст нам число (X^Z), заключенное между указанными старшими простыми (то есть 7 < X^Z < 11). В данном случае мы находим две пары: Х^Z = 2^3 = 8 и X^Z = 3^2 = 9 – см. розовые клетки замены в таблице у найденных нами двух метачисел (пропущенные формулой 1): М = 840 и М = 2520.
Метачисло, порожденное малым скачком, а также меньшее метачисло, порожденное большим скачком, мы назовем s-метачислом, а в таблице такую строку выделим бирюзовым цветом. Большее метачисло, порожденное большим скачком, мы назовем t-метачислом, а в таблице такую строку выделим зеленым цветом. Всего мне удалось найти только пять t-метачисел, порожденными такими старшими простыми Р = 7, 23, 113, 2179, 32749. Первые два t-метачисла приведены в таблице, а параметры трех остальных t-метачисел приводятся ниже (в части обозначений и смысла их параметров – см. таблицу):
М = (2^6)(3^4)(5^3)(7^2)(11^2)∙13∙17∙…∙113 ≈ 5,257∙10^52
(Kм = 42; K = 30; L = 126; T ≈ 4,228∙10^10).
М = (2^11)(3^7)(5^4)(7^3)(11^3)(13^3)(17^2)∙…∙(43^2)∙47∙53∙…∙2179 ≈ ℮^2182
(Kм = 360; K = 327; L = ?; T ≈ 3,36∙10^102).
М = (2^15)(3^9)(5^6)(7^5)(11^4)(13^4)(17^3)∙…∙(31^3)(37^2)∙…∙(181^2)∙191∙193∙…∙32749 ≈ ℮^32737
(Kм = 3590; K = 3512; L = ?; T ≈ ℮^2458).
Итак, указанные пять старших простых чисел (Р = 7, 23, 113, 2179, 32749) порождают пять t-метачисел, которые формула (1) «не видит», «пропускает», «теряет» (как и все s-метачисла). Но что ещё можно сказать про указанные пять старших простых чисел? За этими простыми следуют, скажем так, простые числа большого скачка Р = 11, 29, 127, 2203, 32771, то есть именно эти старшие простые (при работе с ними по формуле 2) указывают нам на наличие большого скачка у номера Км (приводящего нас к t-метачислу согласно Х-алгоритму, см. выше).
А теперь вычислим так называемый радиус (R) у пяти простых чисел большого скачка (на рис. 1 эти радиуса обведены красными кружками):
R = 11 – 7 = 4 (радиус у Р = 11 с порядковым номером K = 5);
R = 29 – 23 = 6 (радиус у Р = 29 с порядковым номером K = 10);
R = 127 – 113 = 14 (радиус у Р = 127 с порядковым номером K = 31);
R = 2203 – 2179 = 24 (радиус у Р = 2203 с порядковым номером K = 328);
R = 32771 – 32749 = 22 (радиус у Р = 32771 с порядковым номером K = 3513).
То есть радиус (R) простого числа Р – это разница между данным простым Р и соседним меньшим простым числом; иначе говоря, радиус – это расстояние (по числовой оси) между соседними простыми числами. Подобным образом можно вычислить радиуса (R) у всех простых чисел (на графике рис. 1 эти радиуса показаны синими точками). Ясно, что наименьший радиус (R = 2) – у всех так называемых простых чисел-близнецов(которые, скорее всего, встречаются до бесконечности). А вот максимально возможный радиус (Rmax, красная линия на графике) – несомненно растет до бесконечности. И первые три «наших» радиуса (Р = 11, 29, 127) – это реальные Rmax, однако последующие два «наших» радиуса (в красных кружках) явно «зарываются» в массу всех прочих радиусов (синих точек на графике). Что, по мнению автора, может свидетельствовать об отсутствие ещё больших t-метачисел (то есть их, скорее всего, только 5 штук и не более того).
Согласно теории чисел (сложный раздел высшей математики) всякое простое число в первом приближении можно представить такой предельно лаконичной формулой (мы назовем её формулой идеального простого числа Ри):
Ри ~ K∙lnK, (3)
где K = 1, 2, 3, 4, … – порядковый номер (идеального) простого числа в ряде всех подобных чисел. Знак тильды (~) вместо приближенного знака равенства (≈) означает, что по мере роста номера K идеальное простое (Ри) и реальное простое (Р) связывает такое условие: Ри/Р→ 1 (при K → ∞).
Поскольку ln(K – 1) = ln(K∙(1 – 1/K)) ≈ lnK – 1/K, то можно легко вычислить радиус (Rи) идеального простого числа: Rи = K∙lnK – (K – 1)∙ln(K – 1), откуда получаем интересную формулу (особенно в рамках числофизики):
Rи ≈ 1 + lnK – 1/K. (4)
На графике рис. 1 именно по формуле (4) построены чёрные точки – радиуса идеальных простых чисел. А вот граница для максимально возможных радиусов (Rmax, красная линия на графике) построена по следующей эмпирической формуле:
Rmax ≈ 0,87∙(Rи)^2, (5)
То есть формула (5) найдена автором опытным путем на ПК из такого условия для реальных радиусов (синих точек на графике): R < Rmax у первых 120000 реальных простых чисел Р. Причем в любом случае (даже при K →∞) оценка Rmax ~ (Rи)^2 представляется правдоподобной (ибо мир простых чисел «любит» возведение в квадрат, как и многие фундаментальные законы физики).
В рамках числофизики указанные выше радиуса (реальные, идеальные, максимальные) простых чисел можно отождествлять с соответствующими… масштабными факторами «ткани» реального пространства-времени. Это приводит нас к выводу об ускоренном расширении числового пространства (весьма похожем на ускоренное расширение Вселенной – самом важном открытие науки в самом конце ХХ века). Более того, законы мира чисел, возможно, «моделируют» даже законы «бурлящего» пространства-времени (когда мы «погружаемся» до предельного уровня планковских величин в теоретической физике), ведь рис. 1 нам также демонстрирует хаотичное «бурление» радиусов (R) простых чисел (синих точек на графике). Про всё это автор неоднократно и весьма подробно писал в своих книгах и статьях (начиная с 1998 г.).
Выше говорилось, что формула (2) указывает нам порядковый номер (Км) метачисла в ряде всех метачисел. При этом номер Км всякого метачисла М будет превосходить порядковый номер (К) старшего простого числа Р (в ряде всех простых чисел), порождающего данное метачисло М (по формуле 1). Однако с ростом старшего простого Р происходит неизбежное сближение указанных двух номеров (Км и К), поскольку s-метачисла будут встречаться всё реже и реже (но вплоть до бесконечности), а t-метачисел, скорее всего, действительно только пять штук. Чтобы численно оценить указанный процесс сближения мы введем относительную погрешность (ОП) согласно такой формуле:
ОП = (Км – К)/Км. (6)
График на рис. 2 доказывает, что указанные номера действительно довольно быстро сближаются и при достаточно больших старших простых Р можно смело полагать, что Км ≈ К (номера становятся почти равными). Однако это никак не снимает вопроса о существовании t-метачисел, помимо уже известных автору пяти t-метачисел (у которых старшие простые: Р = 7, 23, 113, 2179, 32749, см. выше).
Старшие простые числа у пяти t-метачисел похожи на пять простых чисел Ферма (Р = 3, 5, 17, 257, 65537), причем математики до сих пор пытаются найти ещё большие простые числа Ферма (правда, пока безрезультатно). Возможно, пятерка старших простых у t-метачисел каким-то образом связана с пятеркой простых чисел Ферма. Скажем, их количество – именно пять штук в обоих случаях – может быть ограничено в силу одного и того же феномена мира простых чисел. При этом причастность простых чисел Ферма к реальному Мирозданию – очевидна хотя бы из такого факта (теорема Гаусса — Ванцеля): правильный n-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда n является вполне определенной функцией (см. в википедии) от простых чисел Ферма. Поэтому, например, с помощью циркуля и линейки (на сегодня) можно построить правильный многоугольник с максимальным нечётным числом сторон, равным 3∙5∙17∙257∙65537 = 2^32 – 1 = 4 294 967 295. В библиотеке Гёттингенского университета хранится рукопись, являющаяся итогом 10-летней работы И. Г. Гермеса, которая содержит метод построения правильного 65537-угольника.
А вот какова причастность метачисел к реальному Мирозданию?
Астрономические наблюдения XXI века свидетельствуют: параллельные вселенные уже не просто красивая метафора. Пространство, по-видимому, бесконечно, а значит, всё возможное становится реальным. За пределами досягаемости телескопов существуют области пространства, идентичные нашей и в этом смысле являющиеся параллельными вселенными, которые в совокупности составляют Метавселенную (это термин из общеизвестной космологии).
Одним из наиболее известных «пропагандистов» параллельных вселенных является Макс Тегмарк (род. в 1967 году) – шведско-американский космолог, физик-теоретик и доктор философии. В своей статье «Параллельные вселенные» Тегмарк приводит в том числе и такую свою оценку (обоснование которой, увы, мало кто поймет из «широкой публики»): «На расстоянии 10^(10^92) м должна располагаться сфера радиусом 100 световых лет, идентичная той, в центре которой находимся мы.» И эта оценка Тегмарка не намного глубокомысленней, нежели моё утверждение: на расстоянии ℮^(10^61) планковских длин (или… световых лет – без разницы, убедитесь в этом сами!) должна располагаться точная КОПИЯ нашей Вселенной [подробное обоснование этого утверждения – см. у меня «ВКонтакте» в сообществе “Числофизика» в эл/книге «Параллельные вселенные (иные миры)» от 11.09.2016]. Здесь же я ограничусь лишь следующими краткими пояснениями.
Число порядка 10^61 – это количество планковских длин, т.е. это расстояние, которое пролетели фотоны света за всё время существования нашей Вселенной (около 13,78 млрд лет или 10^61 планковских времен, т.е. «квантов» времени). В рамках числофизики первые 10^61 натуральных (т.е. дискретных!) чисел «отражают», «моделируют» фундаментальные законы дискретного пространство-времени нашей Вселенной (например, ускоренное расширение пространства Вселенной, см. моё замечание выше). Таким образом, число М ~ ℮^(10^61) – это «всего лишь» … метачисло, порожденное (по нашей формуле 1) старшим простым числом Р ~ 10^61 (возраст нашей Вселенной, выраженный в планковских единицах времени). И у этого метачисла (в силу главного свойства метачисел, также рассмотренного нами выше) его первые 10^61 целых делителей – это точная КОПИЯ нашей Вселенной (которая содержится как бы «внутри» указанного метачисла, «моделирующего» Метавселенную).
Автор открыл метачисла ещё в 2004 г. (правда, тогда он назвал их ЛПД-числами, см. книгу «Зеркало» Вселенной», гл. 10). Тогда же было установлено, что достаточно большое метачисло (М) устремляется к экспоненте своего старшего простого числа (Р), то есть: М ~ ℮^P ≡ exp(P). При этом у метачисла М его первые Р делителей (D = 1, 2, 3, 4, …, Р) – это КОПИЯ начала натурального ряда (копия длиной Р). Данный факт, вероятно, эквивалентен (тождественен) доказательству теоремы Пуанкаре о возвращении (теоремы о периоде возврата Пуанкаре) – это одна из базовых теорем эргодической теории. Её суть в том, что при сохраняющем меру отображении пространства на себя почти каждая точка вернётся в свою начальную окрестность. У данной теоремы Пуанкаре есть неожиданное следствие: оказывается, если в сосуде, разделённом перегородкой на два отсека, один из которых (скажем, левый) заполнен газом, а другой (правый) пуст, удалить перегородку, то через некоторое время все молекулы газа вновь соберутся в исходной (левой) части сосуда (а правая часть окажется опять пустой). Разгадка этого парадокса (наш разум просто отказывается верить в это) в том, что «некоторое время» (т.е. период возврата Пуанкаре) – очень велико (колоссально).
На Дзене на канале ЧИСЛОФИЗИКА посмотрите статью автора "Период возврата Пуанкаре (или ближайшая копия Вселенной)" от 26.09.2020. Автор просто забыл упомянуть про теорему Пуанкаре и в данной статье (про метачисла). Если колоссальное старшее простое число Р (скажем, Р ~ 10^61 у метачисла М ~ ℮^P), действительно, эквивалентно колоссальному периоду возврата Пуанкаре, то данный факт – одно из веских доказательств «легитимности» числофизики (это весьма продуктивный «бред» автора).
08.10.2020, Санкт-Петербург
© А. В. Исаев, 2020
