Просто́е число (Р) – натуральное (целое положительное) число, имеющее ровно два различных натуральных делителя – единицу и самого себя (Р). Последовательность простых чисел бесконечна и начинается так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199…
Элементарный, но медленный метод проверки простоты заданного натурального числа N известен как перебор делителей, который состоит из проверки того, делится ли нацело (без остатка) число N хоть на одно из первых натуральных чисел 2, 3, 4, 5, 6, ..., N^0,5 (корень квадратный из числа N). Если делится, то число N – составное число (является произведением неких простых чисел, не превосходящих корень квадратный из числа N).
Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы, представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа являются элементарными «строительными кирпичиками» составных натуральных чисел (коих большинство). Например:
N = 23244 = 2 ⋅2 ⋅ 3 ⋅ 13 ⋅149 = 2^2 ⋅ 3 ⋅ 13 ⋅149.
Подобное разложение составного числа N на (конечное число) простых множителей называется факторизацией или каноническим разложением составного числа N. На практике для большинства составных чисел есть много простых алгоритмов разложения на множители (факторизации), однако все они должны дать одинаковый результат (за исключением порядка расположения простых множителей).
Долгое время считалось, что простые числа имеют чрезвычайно ограниченное применение за пределами чистой математики (теории чисел и других разделов высшей математики). Это изменилось в 1970-х годах при бурной эволюции компьютеров, когда были изобретены концепции криптографии с открытым ключом, в которых простые числа составляли основу первых алгоритмов, таких как алгоритм шифрования RSA.
Однако в будущем создание квантовых компьютеров приведет к быстрой дешифровке (сколь угодно сложных ключей шифрования), и простые числа для криптографии потеряют свою значимость. Правда, к этому времени вполне может подтвердится фундаментальная значимость законов мира чисел в части «моделирования» законов «ткани» пространства-времени (о чем уже 22 года говорит автор в своих статьях и книгах по числофизике). Первые свидетельства в пользу этого – триумф нового раздела математики (глубоко связанного с теорией чисел), а именно: 3 апреля 2010 года Ален Конн опубликовал (на arxiv.org) теорию, объясняющую… ВСЕ фундаментальные физические взаимодействия через некоммутативную геометрию, предсказания которой совпадают с выводами из Стандартной модели (см. на Дзене статью автора «Некоммутативная геометрия…»)
Наибольшим известным простым числом (на январь 2019 года) является Р = 2^82 589 933 − 1 (это число P относится к так называемым числам Мерсенна) ≈ 10^24 862 047, и в книге с записью одного этого числа было бы около девяти тысяч страниц. «Фонд Электронных Рубежей» (EFF, основан в июле 1990 в США) за нахождение простых чисел Р = 10^A, где А ≥ 10^9 назначила приз в 250 000 долларов США.
Указанное число (Р = 10^A, где А = 10^9) столь велико, что имей оно любые известные нам единицы измерения, то последние – потеряли бы всякий смысл. Например, пусть это число Р выражено в световых годах, где 1 свет.год ≈ 10^16 метров ≈ 10^51 планковских длин (1 планк. длина ≈ 1/10^35 м – наименьшее возможное расстояние в физике). Тогда число Р в планковских длинах запишется так: Р= 10^A, где А = 10^9 + 51 ≈ 10^9, то есть запись числа Р почти не изменилась – что в световых годах, что в планковских единицах наше колоссальное число Р записывается практически одинаково. Разумеется, чем больше число Р– тем смелее можно говорить, что для него (все известные нам) единицы измерения теряют смысл, и единицы измерения можно просто не указывать (вообще не оговаривать).
В теории чисел чуть ли не самый главный закон имеет самый лаконичный (и красивый) вид:
K ~ P/lnP , (1)
где K – «порядковый номер» простого числа Р (в ряде всех простых чисел). Разумеется, что для простых чисел Р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … реальные номера будут K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, а наша асимптотическая формула (1) выдает лишь некое приближение к реальным номерам (K ≈ 2,9; 2,7; 3,1; 3,6; 4,6; 5,1; 6,0; …). И чем больше простое число Р в формуле (1) – тем, вообще говоря, меньше относительная погрешность приближения параметра K – об этом нам говорит символ тильды (~), специально поставленный математиками (в так называемой асимптотической формуле) вместо знака приближенного равенства (≈).
Из формулы (1) нетрудно получить обратную формулу (также, увы, асимптотическую):
P ~ K∙lnK. (2)
Эти две указанные формулы (в силу их предельной «простоты») – самые «ходовые» в рамках моей числофизики (доступной даже школьникам), поскольку позволяют легче всего делать некие аналитические выкладки в первом приближении. Разумеется, что в теории чисел есть много других, более сложных формул, позволяющих вычислять параметры K и Р с большей точностью.
Однако надо ясно понимать, что появление очередного простого числа Р (в ряде всех натуральных чисел) – это псевдослучайный процесс, то есть очень (очень!) похожий на игру Его Величества Случая в мире чисел (особенно в мире больших чисел). И именно этот удивительный факт (на котором построен и весь реальный физический мир) делает теорию чисел – одним из самых загадочных и красивых разделов высшей математики.
На самом же деле мир натуральных чисел детерминирован (и, образно говоря, «железобетонно»!) в силу предельно элементарного алгоритма (лежащего в фундаменте «случайных» простых чисел):
– начиная с N= 2 каждое 2-е натуральное число делится (нацело) на 2;
– начиная с N= 3 каждое 3-е натуральное число делится (нацело) на 3;
– начиная с N= 4 каждое 4-е натуральное число делится (нацело) на 4;
– начиная с N= 5 каждое 5-е натуральное число делится (нацело) на 5;
и т.д. до… бесконечности!
