Начало: Математика для чайников. Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Предыдущий урок: Математика для чайников. Глава 3. Философия арифметики.
В арифметике мы оперируем числами. Но каждое число, а также любой другой математической объект можно обозначить буквой или каким либо специальным знаком. И над этими буквами можно производить соответствующие операции, в частности, если это числа, то сложение, вычитание, умножение, деление, а так же другие арифметические операции, такие как возведение в степень, извлечение корня, логарифмы. Это алгебра в узком смысле, а именно та алгебра, которую проходят в школе и которую называют элементарной алгеброй .
В более широком смысле алгебра – это наука об операциях над элементами множеств произвольной природы, которые обобщают операции сложения и умножения чисел.
Вообще в настоящее время, кроме элементарной алгебры существует ряд других алгебр. Сейчас я расскажу о каждой из них.
Линейная алгебра. Там всякие векторы, матрицы, системы линейных уравнений. Довольно муторная, но очень нужная и полезная тема. Если вы хотите, например быть программистом в области искусственного интеллекта, машинного обучения и BigData , то от изучения линейной алгебры не отвертеться. Краткая суть линейной алгебры состоит в том, что есть такая матрица, которая представляет собой таблицу чисел. Если у нас имеется две такие матрицы одинаковой размерности (по количеству строк и столбцов), то мы можем их сложить, складывая поэлементно, получив другую матрицу. Так же их можно вычесть. Матрицу можно умножить на число. А еще можно умножить матрицу на матрицу, используя некий хитрый алгоритм и в итоге получиться третья матрица. И эти три матрицы обозначают систему линейных уравнений. В матричном виде это записывается кратко и лаконично, типа AX = Y . Еще у матрицы можно посчитать определитель и еще много что можно с ними делать. Все это изучает линейная алгебра.
Общая алгебра. Предметом общей алгебрыявляются различные алгебраические системы. В ней рассматриваются вопросы операции над различными алгебраическими объектами. Как я говорил ранее (см. мои предыдущие уроки: философия математики , заглянем в историю и что такое математическая абстракция ), математическим объектом может быть не только число. Например, матрица – это тоже математический объект. Если матрица не двумерна, а трёхмерная, четырехмерна или еще больше –мерна то это же будет тензор – более сложный объект. Общая алгебра оперирует такими объектами, как группы, кольца, поля, модули, решетки.
Рассмотрим например, такое хитрый математический объект, как группа. Попытаюсь простыми словами объяснить, что это такое. Во-первых группа – это множество. Само по себе множество, как вы поняли, тоже является математическим объектом. Над множествами можно совершать разные операции, например, пересечение, объединение. Во-вторых, группа это не простое множество, а множество, на котором определена так называемая ассоциативная бинарная операция (такая операция, для которой выполняется закон ассоциативности). А в-третьих, там есть еще и некий нейтральный элемент. В-четвертых каждый элемент этого группы имеет обратный. Вот такое вот хитрое множество. Вы спросите, для чего так все усложнять? На самом деле, теория групп применяется для в физике, кристаллографии и даже биологии, и очень упрощает жизнь тем, кто занимается этими науками. И упрощает именно благодаря новым абстракциям, которыми можно оперировать как обычными математическими объектами.
Универсальная алгебра. Это, по своей сути, еще более абстрактная абстракция, чем общая алгебра. По сути, это наука, которая изучает, что есть общего между разными алгебраическими системами. Основная идея универсальной алгебры состоит в том, что алгебраическая система представляет собой множество, в которое в том числе входит и список операций этой самой алгебры. По сути, набор математический объектов плюс правила как производить операции над ними – это и есть алгебра. Вот к таким уровням абстракции и сводиться универсальная алгебра.
Булева алгебра. В этой алгебре математические объекты могут принимать два значения: «истина» или «ложь». И над ними можно совершать такие операции, как «И», «ИЛИ», «НЕ», «Следование» Это основные операции. На самом деле операций гораздо больше, но все они сводятся к четырем перечисленным. Как вы наверное догадались, эта алгебра широко примнется в компьютерных науках, так как по своей сути – это бинарная логика, на которой и работают компьютеры.
Итак, мы познакомились с различными видами алгебр. Теперь вернемся к элементарной (школьной алгебре). Решим задачу:
Ваня, Таня и Петя пошли в паб. Они выпили много пива и забыли попросить раздельный счет. Официант принес общий счет на 3000 рублей. Друзья заплатили и решили потом подбить бабки, кто сколько должен. В счете было написано:
Пиво 9 кружек по 200 рублей каждая
Нарезка к пиву 300 рублей
Тарелка омаров 900 рублей.
Ваня помнит, что заказывал пива и нарезку. Но сколько кружек он не помнит, хотя помнит, что в три раза меньше, чем Петя. Таня помнит что заказывала одну кружку пива и тарелку омаров. Петя помнит, что пил только пиво, но не помнит, сколько кружек.
Как будем решать? У нас неизвестно, сколько кружек пива выпил Ваня и сколько Петя. Неизвестных два. Мы можем составить систему уравнений:
Выразим y через x и упростим первое уравнение:
В первое уравнении подставляем y , выраженный через x
Упрощаем и решаем первое уравнение
Таким образом, Ваня заказа две кружки пива, а Петя, соответственно, 6. Мы нашли наши неизвестные, теперь сможем вычислить, кто сколько должен внести в «общак»:
Ваня: 2*200+300=700 руб.
Таня 1*200+900=1100 руб.
Петя 6*200=1200 руб.
Для решения данной задачи мы применили абстракцию из элементарной алгебры. Эта абстракция – буквенное обозначение неизвестных. С ними можно производить ряд правил, определенных в данной алгебре. И использование таких абстракций, как вы только что убедились, значительно упрощает расчеты. Попробовал бы вы посчитать, не составляя систему уравнений!
Следующий урок: Глава 5. Основы элементарной алгебры
1. Алгебра — Википедия (wikipedia.org)