Предыдущая глава: Глава 1. Что такое математическая абстракция.
Итак, люди изобрели счет. Что дальше? Как я уже говорил в предыдущей главе, если что-то трудно сосчитать, то это «много». Но потребность сравнивать разные «много» есть. Как это сделать? Можно сопоставить по количеству, но если предметов «очень много» то это может быть долго. Да и неудобно записывать числа в виде палочек или зарубочек, когда записи длинные. Как тогда быть? И тут нашелся умный человек, который догадался определенное число зарубок обозначить каким-нибудь знаком. Например, число пять обозначить галочкой (V). Теперь, даже если человек умеет считать только до пяти, он число шесть может представить, как пять и один, и записать VI. Но можно же и несколько чисел «пять» обозначить отдельным знаком. Например, пять и пять это знак “X”. Теперь число пятнадцать можно записать XV. И вуаля, изобретены римские цифры.
Итак, коль мы заговорили об истории математики, вспомним, что римские цифры были изобретены за пять веков до нашей эры у этрусков [1]. Неудобство римских цифр очевидно (попробуйте-ка, сложите или умножьте их «столбиком»). Если вы не знаете, что значит складывать «столбиком», ничего страшного позже это будет разъяснено. Может возникнуть вопрос, а почему римские цифры так популярны, коль они неудобны? Это объясняется тем огромным влиянием, которое оказала в прошлом Римская Империя. Римляне в целом не были склонны заниматься математикой и избегали дробей. В практических задачах, связанных с измерениями, они не использовали дроби, подразделяя единицу измерения обычно на 12 частей, с тем, чтобы результат измерения представить в виде составного числа, суммы кратных различных единиц, как это делается сегодня, когда длину выражают в ярдах, футах и дюймах.
Кстати, насчет арабских цифр. На самом деле они ни разу не арабские, так как были изобретены в Индии, а сами арабы считают их индийскими. Их преимущество перед римскими цифрами состоит в том, что последние образуют позиционную систему счисления: цифра в каждой по следующей позиции в определенное количество раз больше предыдущей. Мы привыкли, что это количество раз – 10, потому что пользуемся десятичной системой счисления, хотя существуют и другие, например, двоичная (используется в вычислительной технике). Древние шумеры (III третье тысячелетие до нашей эры) использовали шестидесятичную систему счисления.
Так в чем же преимущество позиционной системы счисления? В том, что очень удобно производить математические операции. Калькуляторов тогда не было, компьютеров – тем более, и считать приходилось «столбиком». Например, нужно сложить 2145+4171. Вот как это можно сделать «столбиком»:
Прикладная математика, которая использовалась в астрономии, земледелии, мореплавании, была известная еще в Древнем Египте. До наших дней сохранились древние папирусы с методичками по решению подобных задач. Древние египтяне умели извлекать корни и возводить в степень. Знали дроби. Им была известна формулы для вычисления площади прямоугольника, треугольника и трапеции, а так же объемов параллелепипеда и разных цилиндрических тел. Они знали, чему примерно равно число «пи», вычисляя его как 4 умноженное на 8/9 в квадрате. Аналогичные тракты были в Древнем Китае. Например, знаменитый тракт «Математика в девяти книгах» [2]. Среди них руководство по вычислению площадей различных геометрических фигур, таких как круг, многоугольник; трактат «Соотношение злаков», содержащий в себе правила обмена в торговле для зерновых культур; «Оценка работ» и другие.
В качестве примера можно привести задачу из трактата из девяти книг: «Буйвол, лошадь и овца потравили чужой посев. Хозяин посева в возмещение убытка потребовал 5 доу зерна [1 доу равен 10 шэнам (около 10 литров)]. Хозяин овцы сказал: «Моя овца потравила половину того, что потравила лошадь». Хозяин лошади сказал: «Моя лошадь потравила половину того, что потравил буйвол». Спрашивается, сколько внесёт каждый, если убыток вносится соответственно?»
В средние века (начиная с V-ого века), когда мир погрузился в хаос войн и беспредела, математика не развивалась и сводилась банально к житейской арифметике. Развитие этой науки было только в странах Ислама, так как у арабов религиозное мракобесие наступило гораздо позже, чем в Европе. Большой вклад в эту науку внес Ал-Хорезми, написав трактат «Об Индийском счете», который способствовал популяризации позиционной системы счисления (арабский цифры, которые на самом деле индийские). В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» (впервые в близком смысле использовано Лейбницем). Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы», оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра». Исламские математики уделяли много внимания не только алгебре, но также геометрии и тригонометрии (в основном для астрономических приложений). Насир ад-Дин ат-Туси (XIII век) и Ал-Каши (XV век) опубликовали выдающиеся работы в этих областях.
В целом можно сказать, что математикам стран Ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, однако новых результатов получено немного[3].
Расцвет математики в Европе начался только в эпоху Возрождения. Так в XVI-ом веке научились решать уравнения третьей и четвертой степени. При этом было обнаружено, что некоторые корни таких уравнений невозможны, так как приходилось извлекать корень и отрицательных чисел. Их назвали «мнимыми числам», которые позднее легли в основу комплексных чисел. В этом же веке изобрели логарифмы. Чуть позже, в XVII-ом веке Рене Декарт изобрел понятие координат точки и аналитической геометрии. В этом же веке Ньютоном и Лейбницем практической одновременно был изобретен математический анализ, в частности, дифференциальное исчисление. А вот в XVIII-ом веке на основе матанализа было сделано очень много разных открытий, по сути, был изобретен жёсткий и страшный матан, которого так бояться все школьники, в частности, интегралы, теория функций, уравнение Лапласса и прочее. Тогда же широко начала применятся теория вероятностей.
Самое интересное началось в XIX-ом веке, когда в математику были введены очень много абстракций, которые, казалось бы, к математике не имеют никакого отношения, такие как кватернионы, поля, группы, множества, вектора, тензоры, матрицы, понятие актуальной бесконечности многое другое. Все это получило свое логическое развитие в XX-веке, когда в связи с изобретением компьютеров в математике появились соответствующие разделы, такие как теория алгоритмов, теория графов, теория игр, теории кодирования, методы оптимизации, математическая статистика, вычислительное моделирование, численные методы, матлингвистика.
Следующая глава: Математика для чайников. Глава 3. Философия арифметики.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 2
1. Википедия. Статья «Римские цифры» (https://ru.wikipedia.org/wiki/Римские_цифры)
2. Википедия. Статья. Математика в девяти книгах (https://ru.wikipedia.org/wiki/Математика_в_девяти_книгах)
3. Википедия. История математики. ( https://ru.wikipedia.org/wiki/История_математики#Страны_ислама)