С 1994 года в России существует лотерея «Русское лото», где разыгрываются огромные суммы денег и другие ценные призы. Например, в прошлом году победительница новогоднего тиража получила джекпот аж на миллиард рублей, купив билет всего за 100 рублей. Ну чем не русская новогодняя сказка?
В этом году джекпот тоже составляет миллиард рублей, плюс организаторы разыгрывали 1000 призов по миллиону рублей. Фраза про «2 миллиарда рублей» на билете была слишком заманчивой, поэтому я решил рискнуть и поучаствовать в лотерее. Тем более что билет стоит всего 100 рублей – ну совершенно копейки по сравнению с миллиардом (и миллионом тоже).
Правила – как в обычном лото. Есть билет с 2 полями, где есть 3 строчки, в каждой из которых по 5 чисел от 1 до 90. Нужно как можно быстрее зачеркнуть первую строчку, первое поле или весь билет. Быстрее – значит, что цифры из строчки/поля/двух полей моего билета должны выпасть первыми среди всех участников.
А джекпот получает тот, кто зачеркнет одно поле целиком за первые 15 ходов. То есть, на каждый ход из первых 15 должны выпадать только числа из одного поля. И тут я задумался… Ведь все можно просчитать по теории вероятности и понять, стоило ли вообще тратить на это 100 рублей.
Итак, вспоминаем школьную программу по математике:
- на первом ходу у нас должно выпасть любое из 15 чисел в поле, при этом в мешке 90 бочонков. Вероятность равна 15:90=0,166667;
- на втором ходу в поле остается 14 чисел, а в мешке – 89 бочонков. Вероятность уменьшается: 14:89=0,1573
- на третьем ходу чисел всего 13, а бочонков 88, вероятность равна 13:88=0,1477, и так далее до 15-го хода.
Дальше нужно вспомнить правила сочетания вероятности. Так как нам нужно, чтобы произошли все эти события, их вероятности нужно перемножить. Проще всего это сделать в Excel:
То есть, вероятность зачеркнуть все цифры в одном поле в течение первых 15 ходов составляет 1 к 45 795 673 964 460 800.
Но не стоит отчаиваться, ведь в билете сразу 2 поля – это удваивает шансы на победу. Соответственно, вероятность выигрыша составит 0,00000000000000436722473295638%, или 1 к 22 897 836 982 230 400.
Много это или мало? В 2020 году на новогодний тираж продали 53,6 миллиона билетов. И шансы на то, что кто-то выиграет джек-пот составляли 1 к 427 миллионам.
А дальше пойдет о грустном. Хоть в лотерее есть и другие выигрыши кроме джекпота, играют в основном ради него. Но шансы на победу настолько маленькие, что каждый выигрыш кажется статистически невероятным – как в прошлом году, когда как раз в Новый год в «Русское лото» выиграли миллиард рублей.
Суровая реальность: мой билет в 1369 тираже выиграл … 0 рублей. Из 3 невыпавших чисел в моем билете было два, причем в разных полях.
Стоило ли играть в лотерею? Здесь нам тоже поможет математика. Что будет, если взять максимальное количество билетов, чтобы увеличить шансы на победу? Обычно для этого считают математическое ожидание выигрыша (если умножить вероятность выигрыша на его сумму), но «Столото» вполне официально пишет, что на выигрыш идет 50% стоимости билетов.
То есть, участие в лотерее предполагает скорее проигрыш, чем выигрыш – иначе организаторам это было бы невыгодно. И так работает любая лотерея, просто в некоторых призовой фонд увеличен (например, до 80%). Но в любом случае матожидание не на стороне игроков.
И еще. Любители лотерей строят целые модели выигрышей, где сравнивают выпавшие ранее цифры и определяют, какие цифры лучше всего искать в билетах.
Увы, теория вероятности разбивает все их аргументы – при абсолютной честности организаторов лотерей вероятность выпадения определенных чисел абсолютно не зависит от этих самих чисел. То есть, при желании сыграть можно брать билет с любыми цифрами – вероятность выиграть от них никак не зависит. А когда «Столото» советует на своем сайте выбирать билеты с разными комбинациями чисел – это разве что попытка продать больше билетов. Потому как совсем не влияет на шансы игрока.
