Ответ: чёрных пятиугольников = 12, белых шестиугольников = 20
Решение
Далее по тексту под мячом понимаем соответствующий многогранник. Заметим, что чёрные грани в мяче – пятиугольники, белые – шестиугольники.
Первое решение (для тех, кто помнит, сколько граней и вершин у икосаэдра)
1. Рассмотрим мяч. Проведём с ним следующее преобразование: нарастим на каждом пятиугольнике пирамиду таким образом, что каждая грань этой пирамиды будет лежать в одной плоскости с одним из пяти смежных шестиугольников.
2. Рассмотрим полученный многогранник. Любая его грань – треугольник, любая его вершина смыкает (инцидентна) пять рёбер (как вершина пирамиды с пятиугольником в основании). Более того, в силу симметричности мяча и построений, все треугольники в новом многограннике являются правильными и равными.
3. Таким образом, мы построили правильный (выпуклый) многогранник или платоново тело. В трёхмерном евклидовом пространстве существует всего пять правильных многогранников. Многогранник с треугольными гранями и пятью рёбрами, примыкающими к вершине, называется икосаэдром. У него 12 вершин и 20 граней.
4. Теперь понятно, что футбольный мяч является усечённым икосаэдром. После усечения из вершин получаются пятиугольники, а из граней – шестиугольники. Поэтому у футбольного мяча 12 пятиугольных и 20 шестиугольных граней.
Второе решение (для тех, кто помнит формулу Эйлера для многогранника)
Формула Эйлера гласит:
В – Р + Г = 2,
где В = количество вершин, Р = количество рёбер, Г = количество граней у многогранника.
Пусть х и у – искомые количества пяти- и шестиугольных граней. Из иллюстрации к задаче видно, что:
1. К каждой пятиугольной грани примыкает 5 шестиугольных граней, и к каждой шестиугольной грани примыкает 3 пятиугольных грани. Следовательно,
5х = 3y, откуда получаем, что Г = х + у = 8х/3.
2. У каждой пятиугольной грани 5 вершин, и каждая вершина входит ровно в одну пятиугольную грань. Следовательно,
В = 5х.
3. Из каждой вершины выходит по три ребра, и каждое ребро соединяет две вершины. Следовательно,
Р = 3В/2 = 15х/2.
Подставляя найденные выражения для В, Р и Г в уравнение Эйлера, находим неизвестные:
5х – 15х/2 + 8х/3 = 2
х = 12 и у = 20.
Послесловие
Классический дизайн футбольного мяча в виде усечённого икосаэдра был создан в 1962 году голкипером сборной Дании и по совместительству сапожником Айгилем Нильсеном (Eigil Nielson). Данный дизайн обеспечивает разумный компромисс между сферичностью и количеством швов.
Источник: Wikipedia
