А вот вам такой дурацкий вопрос: может ли равносторонний треугольник быть одновременно прямоугольным? На сфере такой пример вы найдёте без труда, а на плоскости, в евклидовой геометрии?
Среди нормальных плоских треугольников, таких, конечно же, нет! Но давайте предположим, что у треугольника все стороны равны 0, он будет явно равносторонним, но в то же самое время, для него тривиальным образом выполняется равенство Пифагора. Значит ли это, что он прямоугольный?
Правильный ответ: перестаньте задавать глупые вопросы! По определению, треугольник задаётся тремя отрезками, соединяющими три вершины, которые не лежат на одной прямой. Три совпадающие точки явно принадлежат одной прямой. Так что расходимся, нечего тут обсуждать.
Всё верно, да. Но неинтересно.
Треугольник с нулевыми сторонами можно получить из любого другого с помощью преобразования подобия, то есть гомотетии. Образно говоря, можно уйти от него далеко-далеко, пока он весь не сожмётся в точку. Что же можно сказать осмысленного о таком вырожденном треугольнике?
Как ни странно, достаточно много. Почти всё.
Мы привыкли рассуждать о треугольнике, рассматривая его стороны и углы. Именно по углам можно построить исчерпывающую классификацию треугольников (правильный, равнобедренный, прямоугольный, остро- и тупоугольный)
Однако, если рассматривать точку, то толку в этом никакого не будет, также как глядя на выражение 0/0, мы не скажем, чему же именно оно равно. Впрочем...
Углы при гомотетии не изменяются, а это значит, что что-то от исчезнувшего треугольника должно остаться. Например, семейство его биссектрис, высот, медиан, срединных перпендикуляров. Всё это — семейства прямых линий, которые во-первых, пересекаются в одной точке, а во вторых, образуют фигуры, — тройки смежных углов, не меняющиеся при гомотетии.
Так что когда треугольник исчезает, от него остаются отчётливые следы. По любому из таких семейств можно чисто геометрическими построениями восстановить треугольник с точностью до подобия.
Но важно, что все эти семейства прямых наследуют от треугольника его симметрии и ключевые свойства. Исчезнувший равносторонний треугольник оставит семейства прямых, имеющие симметрию, изоморфную группе диэдра D₃, включающую симметрию вращения третьего порядка и три отражения. Равнобедренный — оставит след, обладающий зеркальной симметрией. Прямоугольный треугольник можно легко распознать по углам, образуемым высотами и биссектрисами и срединными перпендикулярами.
Так что даже вырожденный равносторонний треугольник, определённо, не может быть прямоугольным, тогда как прямоугольный может оказаться равнобедренным. Всё как у настоящих треугольников. Для них корректно определены стороны, площади, радиусы вписанных и описанных окружностей, они все непротиворечиво равны 0. Более того, вырожденные треугольники образуют пространство изоморфное пространству треугольников, факторизованному отношением подобия. Но об этом я обязательно расскажу отдельно. Это интересная история.
* * *
Предлагаю вам, дорогие читатели, провести самостоятельное исследование (можно в Geogebra).
Поищите геометрические способы восстановить треугольник, если от него остались только одна вершина и
1) либо линии, параллельные сторонам, пересекающиеся в одной точке,
2) либо семейство биссектрис (решение),
3) либо семейство высот,
4) либо семейство медиан (решение).
Ответы, пишите в комментариях.